Решение задачи 5: Определение производной по графику

Задание 5. На рисунке изображены графики функций и касательные к ним. Требуется найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \). Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке: \[ f'(x_0) = k = \tan \alpha \] где \( k \) — угловой коэффициент прямой, а \( \alpha \) — угол наклона касательной к положительному направлению оси \( Ox \). Разберем каждый график отдельно: Левый график: 1. Найдем на касательной (зеленая линия) две точки с целыми координатами. По рисунку это точки \( A(-4; 0) \) и \( B(2; -2) \). 2. Угловой коэффициент \( k \) находится по формуле: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 3. Подставим координаты: \[ k = \frac{-2 - 0}{2 - (-4)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] Ответ для левого графика: \( f'(x_0) = -1/3 \) (или примерно \( -0,33 \)). Правый график: 1. Найдем на касательной (синяя линия) две точки с целыми координатами. По рисунку это точки \( A(-6; -1) \) и \( B(2; 1) \). 2. Вычислим угловой коэффициент: \[ k = \frac{1 - (-1)}{2 - (-6)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] 3. В десятичном виде: \[ k = 0,25 \] Ответ для правого графика: \( f'(x_0) = 0,25 \).