Решение задачи 2: Решение треугольника ABC по теоремам синусов и косинусов

Задача 2. Решить треугольники. А) Дано: Треугольник ABC. \( AB = c = 17 \) \( BC = a = 5 \) \( \angle B = 71^\circ \) Найти: сторону \( AC = b \), углы \( \angle A \) и \( \angle C \). Решение: 1. По теореме косинусов найдем сторону \( b \): \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] \[ b^2 = 5^2 + 17^2 - 2 \cdot 5 \cdot 17 \cdot \cos 71^\circ \] Используя значение \( \cos 71^\circ \approx 0,3256 \): \[ b^2 = 25 + 289 - 170 \cdot 0,3256 \] \[ b^2 = 314 - 55,352 = 258,648 \] \[ b = \sqrt{258,648} \approx 16,08 \] 2. По теореме синусов найдем угол \( A \): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} \] Используя значение \( \sin 71^\circ \approx 0,9455 \): \[ \sin A = \frac{5 \cdot 0,9455}{16,08} \approx \frac{4,7275}{16,08} \approx 0,294 \] \[ \angle A = \arcsin(0,294) \approx 17,1^\circ \] 3. Найдем угол \( C \): \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \] \[ \angle C = 180^\circ - (17,1^\circ + 71^\circ) = 180^\circ - 88,1^\circ = 91,9^\circ \] Ответ: \( b \approx 16,08 \), \( \angle A \approx 17,1^\circ \), \( \angle C \approx 91,9^\circ \). --- В) Дано: \( a = 5 \) см \( b = 6 \) см \( c = 7 \) см Найти: углы \( \alpha, \beta, \gamma \). Решение: 1. По теореме косинусов найдем угол \( \alpha \) (напротив стороны \( a \)): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] \[ \cos \alpha = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} \approx 0,7143 \] \[ \alpha = \arccos(0,7143) \approx 44,4^\circ \] 2. Найдем угол \( \beta \) (напротив стороны \( b \)): \[ \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] \[ \cos \beta = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} \approx 0,5429 \] \[ \beta = \arccos(0,5429) \approx 57,1^\circ \] 3. Найдем угол \( \gamma \) (напротив стороны \( c \)): \[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \] \[ \gamma = 180^\circ - (44,4^\circ + 57,1^\circ) = 180^\circ - 101,5^\circ = 78,5^\circ \] Ответ: \( \alpha \approx 44,4^\circ \), \( \beta \approx 57,1^\circ \), \( \gamma \approx 78,5^\circ \). Примечание для тетради: При переписывании нарисуйте произвольные треугольники, обозначьте вершины буквами A, B, C и подпишите известные стороны и углы согласно условию. В задаче А угол B тупой на чертеже делать не обязательно, но сторона AB должна быть длиннее BC. В задаче B сторона c — самая длинная.