Решение:

Вариант II №1. Построение графиков и нахождение областей. а) \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \) 1. Область определения (D): Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \) \( D(y) = (3; +\infty) \) 2. Область значений (E): Логарифмическая функция принимает любые действительные значения: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \) 3. Построение: График функции \( y = \log_{\frac{1}{2}}x \) смещен вправо на 3 единицы. Асимптота: \( x = 3 \). Точки для построения: Если \( x = 3,5 \), то \( y = \log_{\frac{1}{2}}0,5 = 1 \) Если \( x = 4 \), то \( y = \log_{\frac{1}{2}}1 = 0 \) Если \( x = 5 \), то \( y = \log_{\frac{1}{2}}2 = -1 \) б) \( y = 2^{x-1} + 3 \) 1. Область определения (D): Показательная функция определена при любых \( x \): \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) 2. Область значений (E): Так как \( 2^{x-1} > 0 \), то \( 2^{x-1} + 3 > 3 \): \( E(y) = (3; +\infty) \) 3. Построение: График \( y = 2^x \) смещен вправо на 1 и вверх на 3. Горизонтальная асимптота: \( y = 3 \). Точки: Если \( x = 1 \), то \( y = 2^0 + 3 = 4 \) Если \( x = 2 \), то \( y = 2^1 + 3 = 5 \) Если \( x = 0 \), то \( y = 2^{-1} + 3 = 3,5 \) №2. Нахождение области определения функции. а) \( y = \log_2(4 - 3x - x^2) \) Условие: \( 4 - 3x - x^2 > 0 \) Умножим на -1: \( x^2 + 3x - 4 < 0 \) Корни уравнения \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = -4, x_2 = 1 \). Методом интервалов получаем: \( x \in (-4; 1) \). Ответ: \( D(y) = (-4; 1) \). б) \( f(x) = \frac{1}{\cos(2x - 3)} \) Знаменатель не равен нулю: \( \cos(2x - 3) \neq 0 \) \( 2x - 3 \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) \( 2x \neq 3 + \frac{\pi}{2} + \pi n \) \( x \neq 1,5 + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \) Ответ: \( D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1,5 + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\} \). в) \( g(x) = \sqrt{\frac{3 + x}{5 - 2x}} \) Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: \[ \frac{3 + x}{5 - 2x} \geq 0 \] Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 2,5 \). Проверим знаки на интервалах: При \( x = 0 \): \( \frac{3}{5} > 0 \) (подходит). При \( x = 3 \): \( \frac{6}{-1} < 0 \) (не подходит). При \( x = -4 \): \( \frac{-1}{13} < 0 \) (не подходит). Учитывая, что \( x \neq 2,5 \): Ответ: \( D(g) = [-3; 2,5) \). №3. Обратная функция. Дано: \( y = -2 + 2x \) 1. Выразим \( x \) через \( y \): \( 2x = y + 2 \) \( x = 0,5y + 1 \) 2. Заменим переменные: \( y = 0,5x + 1 \) — искомая обратная функция. Для построения графиков в одной системе координат: 1. Прямая \( y = 2x - 2 \) проходит через точки (0; -2) и (1; 0). 2. Прямая \( y = 0,5x + 1 \) проходит через точки (0; 1) и (-2; 0). Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).