Решение линейного дифференциального уравнения y' - y/x = x

Вот решение задачи. Задание 3. Найти решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Уравнение: \[y' - \frac{y}{x} = x\] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(y' + P(x)y = Q(x)\), где \(P(x) = -\frac{1}{x}\) и \(Q(x) = x\). Решение будем искать с помощью интегрирующего множителя. Шаг 1: Находим интегрирующий множитель \(\mu(x)\). Формула для интегрирующего множителя: \[\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\] Подставляем \(P(x)\): \[\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx}\] Вычисляем интеграл: \[\int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x| = \ln|x|^{-1} = \ln\left|\frac{1}{x}\right|\] Тогда интегрирующий множитель: \[\mu(x) = e^{\ln\left|\frac{1}{x}\right|} = \frac{1}{x}\] Для простоты дальнейших вычислений будем считать \(x > 0\), поэтому \(\mu(x) = \frac{1}{x}\). Шаг 2: Умножаем обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель. \[\frac{1}{x} \left(y' - \frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x} \cdot x\] \[\frac{1}{x} y' - \frac{y}{x^2} = 1\] Левая часть уравнения является производной произведения \(\left(\frac{1}{x} y\right)'\). Проверим это: \[\left(\frac{1}{x} y\right)' = \left(\frac{1}{x}\right)' y + \frac{1}{x} y' = -\frac{1}{x^2} y + \frac{1}{x} y'\] Это совпадает с левой частью уравнения. Шаг 3: Переписываем уравнение в виде производной произведения. \[\left(\frac{1}{x} y\right)' = 1\] Шаг 4: Интегрируем обе части уравнения по \(x\). \[\int \left(\frac{1}{x} y\right)' dx = \int 1 dx\] \[\frac{1}{x} y = x + C\] где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. Шаг 5: Выражаем \(y\). Умножаем обе части на \(x\): \[y = x(x + C)\] \[y = x^2 + Cx\] Ответ: Решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка \(y' - \frac{y}{x} = x\) имеет вид: \[y = x^2 + Cx\]