Решение: Найти высоту дерева на склоне

Дано: Угол наклона холма к горизонту: \( \alpha = 15^\circ \) Угол между поверхностью склона и лучом зрения на вершину дерева: \( \beta = 45^\circ \) Расстояние, пройденное по склону: \( L = 54 \) м Найти: Высоту дерева \( h \) Решение: Рассмотрим треугольник, образованный склоном холма, деревом и лучом зрения. 1. Угол между деревом (которое растет вертикально вверх) и горизонтальной плоскостью равен \( 90^\circ \). 2. Так как склон наклонен под углом \( 15^\circ \) к горизонту, то угол между деревом и склоном (внутри треугольника) составит: \[ \gamma = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \] 3. Теперь рассмотрим треугольник, вершинами которого являются: точка, где стоял человек; основание дерева; вершина дерева. В этом треугольнике нам известны: - Сторона (расстояние по склону) \( L = 54 \) м. - Прилежащий к ней угол \( \beta = 45^\circ \) (угол зрения относительно склона). - Угол между деревом и склоном \( \gamma = 75^\circ \). 4. Найдем третий угол треугольника (угол при вершине дерева) \( \delta \): \[ \delta = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] 5. Используем теорему синусов для нахождения высоты дерева \( h \): \[ \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{L}{\sin(60^\circ)} \] Отсюда выражаем \( h \): \[ h = \frac{L \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)} \] 6. Подставим числовые значения: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \] \[ h = \frac{54 \cdot 0,707}{0,866} \approx \frac{38,178}{0,866} \approx 44,085 \] Округлим до целого числа, как обычно требуется в подобных задачах. Ответ: 44 метра.