Решение задачи: Квадрат, окружность, найти отрезок PQ

Дано: Квадрат \( ABCD \) со стороной \( a = 1 \). Окружность вписана в квадрат и касается стороны \( BC \) в точке \( K \). Отрезки \( AK \) и \( DK \) пересекают окружность в точках \( P \) и \( Q \). Найти: \( PQ \). Решение: 1. Введем систему координат. Пусть точка \( A \) имеет координаты \( (0, 0) \), тогда \( B(0, 1) \), \( C(1, 1) \), \( D(1, 0) \). 2. Точка \( K \) — середина стороны \( BC \), так как окружность вписана в квадрат. Ее координаты \( K(0.5, 1) \). 3. Центр вписанной окружности находится в точке \( O(0.5, 0.5) \), а ее радиус \( R = 0.5 \). Уравнение окружности: \[ (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 = (0.5)^2 \] \[ (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 = 0.25 \] 4. Найдем уравнение прямой \( AK \). Прямая проходит через \( (0, 0) \) и \( (0.5, 1) \). Уравнение прямой: \( y = 2x \). 5. Найдем координаты точки \( P \) (пересечение прямой \( AK \) и окружности). Подставим \( y = 2x \) в уравнение окружности: \[ (x - 0.5)^2 + (2x - 0.5)^2 = 0.25 \] \[ x^2 - x + 0.25 + 4x^2 - 2x + 0.25 = 0.25 \] \[ 5x^2 - 3x + 0.25 = 0 \] Умножим на 4 для удобства: \[ 20x^2 - 12x + 1 = 0 \] Найдем дискриминант: \( D = 144 - 80 = 64 \). \[ x = \frac{12 \pm 8}{40} \] \( x_1 = \frac{20}{40} = 0.5 \) (это абсцисса точки \( K \)). \( x_2 = \frac{4}{40} = 0.1 \) (это абсцисса точки \( P \)). Тогда ордината точки \( P \): \( y = 2 \cdot 0.1 = 0.2 \). Координаты \( P(0.1, 0.2) \). 6. В силу симметрии фигуры относительно вертикальной оси \( x = 0.5 \), ордината точки \( Q \) будет такой же, как у \( P \), а абсцисса будет симметрична: \( y_Q = 0.2 \) \( x_Q = 1 - 0.1 = 0.9 \) Координаты \( Q(0.9, 0.2) \). 7. Найдем длину отрезка \( PQ \). Так как ординаты точек равны, длина равна разности абсцисс: \[ PQ = x_Q - x_P = 0.9 - 0.1 = 0.8 \] Теоретические факты: 1. Свойства вписанной в квадрат окружности (центр в точке пересечения диагоналей, радиус равен половине стороны). 2. Уравнение окружности и уравнение прямой. 3. Теорема о симметрии квадрата и вписанной окружности. Ответ: 0,8.