Решение задачи: Окружность в квадрате

Ниже представлено решение задачи, оформленное для записи в тетрадь. Задача: Окружность, вписанная в квадрат \(ABCD\), касается его стороны \(BC\) в точке \(K\). Отрезки \(AK\) и \(DK\) пересекают окружность в точках \(P\) и \(Q\). Найдите длину отрезка \(PQ\), если сторона квадрата равна 1. Решение: 1. Введем систему координат. Пусть вершина \(A\) находится в начале координат \((0; 0)\). Тогда вершины квадрата имеют координаты: \(A(0; 0)\), \(B(0; 1)\), \(C(1; 1)\), \(D(1; 0)\). 2. Точка \(K\) — середина стороны \(BC\), так как окружность вписана в квадрат. Ее координаты: \(K(0.5; 1)\). 3. Центр вписанной окружности находится в точке \(O(0.5; 0.5)\), а ее радиус \(R = 0.5\). Уравнение окружности: \[ (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 = 0.25 \] 4. Найдем уравнение прямой \(AK\). Она проходит через точки \((0; 0)\) и \((0.5; 1)\). Уравнение прямой: \(y = 2x\). 5. Найдем координаты точки \(P\) как точки пересечения прямой \(AK\) и окружности. Подставим \(y = 2x\) в уравнение окружности: \[ (x - 0.5)^2 + (2x - 0.5)^2 = 0.25 \] \[ x^2 - x + 0.25 + 4x^2 - 2x + 0.25 = 0.25 \] \[ 5x^2 - 3x + 0.25 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0.25 = 9 - 5 = 4 \] \[ x_1 = \frac{3 + 2}{10} = 0.5, \quad x_2 = \frac{3 - 2}{10} = 0.1 \] Точка с \(x = 0.5\) — это точка \(K\). Значит, абсцисса точки \(P\) равна \(0.1\). Тогда ордината \(y_P = 2 \cdot 0.1 = 0.2\). Координаты \(P(0.1; 0.2)\). 6. В силу симметрии квадрата относительно прямой, проходящей через середины сторон \(AD\) и \(BC\), точка \(Q\) будет иметь координаты \(Q(0.9; 0.2)\). 7. Длина отрезка \(PQ\) равна разности абсцисс точек \(P\) и \(Q\), так как их ординаты равны: \[ PQ = 0.9 - 0.1 = 0.8 \] Теоретические факты, которые используются в решении задачи (отметьте в списке): - Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) — для обоснования симметрии и положения точки \(K\). - Свойство равнобедренного треугольника — треугольник \(AKD\) равнобедренный. - Теорема Пифагора — может использоваться для нахождения длин отрезков. - Определение окружности, вписанной в четырехугольник. Ответ к задаче: 0,8