Решение уравнения в полных дифференциалах (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0

Вот решение задачи. Задание 4. Найти решение уравнения в полных дифференциалах. Уравнение: \[(x + \sin y)dx + (x \cos y + \sin y)dy = 0\] Это уравнение вида \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\), где: \(M(x, y) = x + \sin y\) \(N(x, y) = x \cos y + \sin y\) Шаг 1: Проверяем условие полноты дифференциала. Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие: \[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\] Вычислим частные производные: \[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + \sin y) = 0 + \cos y = \cos y\] \[\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x \cos y + \sin y) = 1 \cdot \cos y + 0 = \cos y\] Так как \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = \cos y\), то уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Шаг 2: Находим функцию \(U(x, y)\), полный дифференциал которой равен левой части уравнения. Функция \(U(x, y)\) удовлетворяет следующим условиям: \[\frac{\partial U}{\partial x} = M(x, y) = x + \sin y\] \[\frac{\partial U}{\partial y} = N(x, y) = x \cos y + \sin y\] Интегрируем первое уравнение по \(x\), считая \(y\) константой: \[U(x, y) = \int (x + \sin y) dx = \int x dx + \int \sin y dx = \frac{x^2}{2} + x \sin y + \varphi(y)\] Здесь \(\varphi(y)\) - произвольная функция от \(y\), которая играет роль "постоянной интегрирования" по \(x\). Шаг 3: Дифференцируем полученное \(U(x, y)\) по \(y\) и приравниваем к \(N(x, y)\). \[\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^2}{2} + x \sin y + \varphi(y)\right) = 0 + x \cos y + \varphi'(y)\] Приравниваем это к \(N(x, y)\): \[x \cos y + \varphi'(y) = x \cos y + \sin y\] Отсюда получаем: \[\varphi'(y) = \sin y\] Шаг 4: Интегрируем \(\varphi'(y)\) по \(y\), чтобы найти \(\varphi(y)\). \[\varphi(y) = \int \sin y dy = -\cos y + C_0\] где \(C_0\) - произвольная постоянная. Шаг 5: Подставляем \(\varphi(y)\) обратно в выражение для \(U(x, y)\). \[U(x, y) = \frac{x^2}{2} + x \sin y - \cos y + C_0\] Общее решение уравнения в полных дифференциалах имеет вид \(U(x, y) = C\), где \(C\) - произвольная постоянная. Мы можем объединить \(C_0\) с \(C\). \[\frac{x^2}{2} + x \sin y - \cos y = C\] Ответ: Решение уравнения в полных дифференциалах \((x + \sin y)dx + (x \cos y + \sin y)dy = 0\) имеет вид: \[\frac{x^2}{2} + x \sin y - \cos y = C\]