Решение задачи на треугольник: AC=7, AB=4√3, ∠A=30°

Решение задачи на решение треугольника: Дано: \( AC = 7 \) \( AB = 4\sqrt{3} \) \( \angle A = 30^\circ \) 1. Найдем сторону \( BC \) (обозначим её как \( a \)) по теореме косинусов: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] Подставим значения: \[ BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 7^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 7 \cdot \cos 30^\circ \] \[ BC^2 = 16 \cdot 3 + 49 - 56\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BC^2 = 48 + 49 - 28 \cdot 3 \] \[ BC^2 = 97 - 84 = 13 \] \[ BC = \sqrt{13} \] 2. Найдем \( \cos \angle B \) по теореме косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] \[ 7^2 = (4\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} \cdot \cos B \] \[ 49 = 48 + 13 - 8\sqrt{39} \cdot \cos B \] \[ 49 = 61 - 8\sqrt{39} \cdot \cos B \] \[ 8\sqrt{39} \cdot \cos B = 61 - 49 \] \[ 8\sqrt{39} \cdot \cos B = 12 \] \[ \cos \angle B = \frac{12}{8\sqrt{39}} = \frac{3}{2\sqrt{39}} = \frac{3\sqrt{39}}{2 \cdot 39} = \frac{\sqrt{39}}{26} \] 3. Найдем \( \cos \angle C \) по теореме косинусов: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \] \[ (4\sqrt{3})^2 = 7^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{13} \cdot \cos C \] \[ 48 = 49 + 13 - 14\sqrt{13} \cdot \cos C \] \[ 48 = 62 - 14\sqrt{13} \cdot \cos C \] \[ 14\sqrt{13} \cdot \cos C = 62 - 48 \] \[ 14\sqrt{13} \cdot \cos C = 14 \] \[ \cos \angle C = \frac{14}{14\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13} \] Ответы для заполнения полей: \( BC = \sqrt{13} \) \( \cos \angle B = \frac{\sqrt{39}}{26} \) \( \cos \angle C = \frac{\sqrt{13}}{13} \)