Решение задачи: квадрат с вписанной окружностью

Для того чтобы правильно заполнить таблицу в цифровом домашнем задании и переписать решение в тетрадь, воспользуемся геометрическим методом. Решение задачи: 1. Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(a = 1\). Так как окружность вписана в квадрат, её диаметр равен стороне квадрата, то есть \(d = 1\), а радиус \(R = 0,5\). Точка \(K\) является серединой стороны \(BC\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABK\). Его катеты: \(AB = 1\), \(BK = 0,5\). По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(AK\): \[ AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{1^2 + 0,5^2} = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] 3. Используем свойство касательной и секущей. Пусть \(M\) — точка касания окружности со стороной \(AB\). Тогда \(AM = 0,5\). Отрезок \(AK\) является секущей, проходящей через точки \(P\) и \(K\). По теореме о квадрате касательной: \[ AM^2 = AP \cdot AK \] \[ (0,5)^2 = AP \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \] \[ 0,25 = AP \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \implies AP = \frac{0,25 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{0,5}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} \] 4. Найдем длину отрезка \(PK\): \[ PK = AK - AP = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{5 - 1}{2\sqrt{5}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] 5. Треугольники \(K PQ\) и \(KAD\) подобны по двум углам (угол \(K\) общий, \(PQ\) параллельно \(AD\) из-за симметрии фигуры). Из подобия следует: \[ \frac{PQ}{AD} = \frac{PK}{AK} \] \[ \frac{PQ}{1} = \frac{2/\sqrt{5}}{\sqrt{5}/2} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} = 0,8 \] Заполнение полей в задании: Теоретические факты, которые используются в решении задачи (отметьте галочками): - Теорема Пифагора. - Определение окружности, вписанной в четырехугольник. - Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) — используется для доказательства того, что \(BK = KC\). - Свойство равнобедренного треугольника — треугольник \(AKD\) равнобедренный. Ответ к задаче: 0,8