Решение задачи: Окружность в квадрате

Задание 2. Решение геометрической задачи. Условие: Окружность, вписанная в квадрат \(ABCD\), касается его стороны \(BC\) в точке \(K\). Отрезки \(AK\) и \(DK\) пересекают окружность в точках \(P\) и \(Q\). Сторона квадрата равна 1. Найдите длину отрезка \(PQ\). Решение для тетради: 1. Введем систему координат. Пусть точка \(A\) имеет координаты \((0; 0)\), тогда \(B(0; 1)\), \(C(1; 1)\), \(D(1; 0)\). 2. Точка \(K\) — середина стороны \(BC\), так как окружность вписана в квадрат. Координаты \(K(0,5; 1)\). 3. Центр окружности находится в точке \(O(0,5; 0,5)\), а её радиус \(R = 0,5\). Уравнение окружности: \[ (x - 0,5)^2 + (y - 0,5)^2 = 0,25 \] 4. Составим уравнение прямой \(AK\). Она проходит через точки \((0; 0)\) и \((0,5; 1)\). Уравнение прямой: \(y = 2x\). 5. Найдем координаты точки \(P\) как точки пересечения прямой \(AK\) и окружности. Подставим \(y = 2x\) в уравнение окружности: \[ (x - 0,5)^2 + (2x - 0,5)^2 = 0,25 \] \[ x^2 - x + 0,25 + 4x^2 - 2x + 0,25 = 0,25 \] \[ 5x^2 - 3x + 0,25 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0,25 = 9 - 5 = 4 \] \[ x_1 = \frac{3 + 2}{10} = 0,5; \quad x_2 = \frac{3 - 2}{10} = 0,1 \] Точка с \(x = 0,5\) — это точка \(K\). Значит, абсцисса точки \(P\) равна \(0,1\). Найдем ординату \(P\): \(y = 2 \cdot 0,1 = 0,2\). Координаты \(P(0,1; 0,2)\). 6. В силу симметрии квадрата и окружности относительно прямой \(x = 0,5\), точка \(Q\) будет иметь ту же ординату, что и \(P\), а её абсцисса будет симметрична относительно \(0,5\): \[ x_Q = 1 - 0,1 = 0,9 \] Координаты \(Q(0,9; 0,2)\). 7. Длина отрезка \(PQ\) равна разности абсцисс точек \(P\) и \(Q\), так как их ординаты равны: \[ PQ = 0,9 - 0,1 = 0,8 \] Ответ: 0,8. Теоретические факты, которые используются в решении (отметьте галочками в списке): - Теорема Пифагора (используется при выводе уравнений или расстояний). - Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника (или синуса, если решать через углы). - Свойство равнобедренного треугольника (треугольник \(AKD\) равнобедренный). - Признак равенства прямоугольных треугольников (для доказательства симметрии). В списке на скриншоте выберите: 1. Теорема Пифагора. 2. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. 3. Свойство равнобедренного треугольника. 4. Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам).