Решение задач из Варианта 9

Ниже представлены решения задач из Варианта 9, оформленные для записи в тетрадь. Задача 15. В треугольнике \(ABC\) угол \(ACB\) равен \(106^\circ\). Найдите внешний угол при вершине \(C\). Решение: Внешний угол треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Пусть \(\gamma_{ext}\) — внешний угол при вершине \(C\). \[\gamma_{ext} = 180^\circ - \angle ACB\] \[\gamma_{ext} = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ\] Ответ: 74. Задача 16. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(150^\circ\), \(AB = 14\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение: По теореме синусов радиус \(R\) описанной окружности вычисляется по формуле: \[R = \frac{AB}{2 \sin C}\] Подставим значения: \[R = \frac{14}{2 \cdot \sin 150^\circ}\] Так как \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0,5\), получаем: \[R = \frac{14}{2 \cdot 0,5} = \frac{14}{1} = 14\] Ответ: 14. Задача 17. Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 132. Точка \(E\) — середина стороны \(AB\). Найдите площадь треугольника \(CBE\). Решение: 1. Площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = AB \cdot h\), где \(h\) — высота, опущенная на сторону \(AB\). 2. Площадь треугольника \(S_{CBE} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot h\). 3. Так как \(E\) — середина \(AB\), то \(BE = \frac{1}{2} AB\). 4. Подставим \(BE\) в формулу площади треугольника: \[S_{CBE} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} AB\right) \cdot h = \frac{1}{4} (AB \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}\] \[S_{CBE} = \frac{132}{4} = 33\] Ответ: 33. Задача 18. На клетчатой бумаге изображена трапеция. Найдите длину её средней линии. Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Посчитаем клетки на рисунке: Верхнее основание \(a = 3\) клетки. Нижнее основание \(b = 7\) клеток. Средняя линия \(m = \frac{a + b}{2}\): \[m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\] Ответ: 5. Задача 19. Какое из следующих утверждений верно? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой. 2) В любой прямоугольник можно вписать окружность. 3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. Анализ: 1) Верно. Это одна из основных аксиом/теорем геометрии. 2) Неверно. Вписать окружность можно только в тот прямоугольник, который является квадратом. 3) Неверно. Только биссектриса, проведенная к основанию, является медианой. Ответ: 1.