Решение задачи B3 по физике

Задача В3. Дано: \( |q_1| = |q_2| = q = 30 \cdot 10^{-6} \) Кл \( k_0 = 3,0 \) Н/м \( \Delta l_2 = \frac{1}{2} \Delta l_1 \) (сжатие вдвое больше или меньше — из контекста "сжимается вдвое" при изменении направления поля следует анализ сил) Найти: \( E \) — ? Решение: На каждый шарик действуют три силы вдоль горизонтальной оси: 1. Сила со стороны внешнего электрического поля: \( F_E = qE \). 2. Сила кулоновского взаимодействия между шариками: \( F_C = k \frac{q^2}{r^2} \). 3. Сила упругости пружины: \( F_{упр} = k_0 \Delta l \). В первом состоянии пружина не деформирована (\( \Delta l_1 = 0 \)). Это значит, что силы, действующие на шарик, уравновешены: \[ F_E + F_C = 0 \] Так как заряды противоположны, они притягиваются друг к другу. Чтобы пружина не была деформирована, внешнее поле должно растягивать их в разные стороны. Пусть положительный заряд находится слева, а отрицательный справа, тогда поле \( E \) направлено влево. \[ qE = \frac{k q^2}{l_0^2} \] где \( l_0 \) — начальная длина пружины. Во втором состоянии направление поля меняется на противоположное. Теперь сила \( F_E \) направлена внутрь (прижимает шарики друг к другу), и сила Кулона \( F_C \) также направлена внутрь. Им противостоит сила упругости сжатой пружины. Условие равновесия для второго случая: \[ F_{упр} = F_E + F_C' \] \[ k_0 \Delta l_2 = qE + \frac{k q^2}{(l_0 - \Delta l_2)^2} \] По условию задачи в первом состоянии пружина не деформирована. Это означает, что внешнее поле в точности компенсировало притяжение зарядов при длине \( l_0 \). При смене направления поля силы начинают действовать в одну сторону. Если пренебречь изменением силы Кулона при малых деформациях (или если считать, что "сжимается вдвое" относится к сравнению сил), то основное уравнение примет вид: Так как в первом случае \( qE = F_{C} \), то при смене направления поля суммарная сила, сжимающая пружину, станет: \[ F_{сжим} = F_E + F_C \approx 2qE \] Тогда: \[ k_0 \Delta l_2 = 2qE \] Однако, исходя из стандартных школьных задач такого типа, фраза "сжимается вдвое" обычно подразумевает, что деформация \( \Delta l_2 \) соотносится с параметрами системы. Если в первом случае \( \Delta l_1 = 0 \), то во втором случае сила упругости уравновешивает удвоенную электрическую силу (так как \( F_E \) и \( F_C \) стали сонаправлены и равны по модулю в начальный момент). \[ k_0 \Delta l_2 = 2qE \] Но нам не дана деформация \( \Delta l_2 \). Перечитаем условие: "пружина сжимается вдвое". Это часто означает, что расстояние между шариками уменьшилось в 2 раза, т.е. \( \Delta l_2 = 0,5 l_0 \). Подставим \( qE = \frac{k q^2}{l_0^2} \) во второе уравнение: \[ k_0 \frac{l_0}{2} = \frac{k q^2}{l_0^2} + \frac{k q^2}{(l_0/2)^2} \] \[ k_0 \frac{l_0}{2} = \frac{k q^2}{l_0^2} + \frac{4 k q^2}{l_0^2} = \frac{5 k q^2}{l_0^2} \] Так как \( \frac{k q^2}{l_0^2} = qE \), получаем: \[ k_0 \frac{l_0}{2} = 5 qE \Rightarrow l_0 = \frac{10 qE}{k_0} \] Подставим \( l_0 \) обратно в выражение для \( qE \): \[ qE = \frac{k q^2}{(10 qE / k_0)^2} = \frac{k q^2 k_0^2}{100 q^2 E^2} \] \[ E^3 = \frac{k k_0^2}{100 q} \] Подставим значения (\( k = 9 \cdot 10^9 \)): \[ E^3 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 3^2}{100 \cdot 30 \cdot 10^{-6}} = \frac{81 \cdot 10^9}{3 \cdot 10^{-3}} = 27 \cdot 10^{12} \] \[ E = \sqrt[3]{27 \cdot 10^{12}} = 3 \cdot 10^4 \text{ В/м} = 30 \text{ кВ/м} \] Ответ: 30 кВ/м.