Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Задание: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле: \[ I = \int_{2}^{4} dy \int_{y}^{4} f(x, y) dx \] Решение: 1. Выпишем область интегрирования \( D \) на основе пределов данного интеграла: \[ 2 \le y \le 4 \] \[ y \le x \le 4 \] 2. Построим эту область на плоскости \( Oxy \). Она ограничена прямыми: - \( y = 2 \) (нижняя граница по \( y \)) - \( y = 4 \) (верхняя граница по \( y \)) - \( x = y \) (левая граница области, прямая линия) - \( x = 4 \) (правая граница области, вертикальная прямая) Данная область представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках \( (2, 2) \), \( (4, 2) \) и \( (4, 4) \). 3. Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно выразить пределы так, чтобы внешним был интеграл по \( x \), а внутренним — по \( y \). - Посмотрим на проекцию области на ось \( Ox \). Значения \( x \) изменяются от 2 до 4. - Для каждого фиксированного \( x \) определим пределы изменения \( y \). Нижняя граница области — это прямая \( y = 2 \), а верхняя граница — это прямая \( y = x \). Таким образом, новые пределы интегрирования: \[ 2 \le x \le 4 \] \[ 2 \le y \le x \] 4. Запишем интеграл с измененным порядком: \[ I = \int_{2}^{4} dx \int_{2}^{x} f(x, y) dy \] Ответ: \[ \int_{2}^{4} dy \int_{y}^{4} f(x, y) dx = \int_{2}^{4} dx \int_{2}^{x} f(x, y) dy \]