Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями xy=4 и x+y=5

Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \( xy = 4 \) и \( x + y = 5 \). Решение: 1. Выразим \( y \) из уравнений заданных линий: - Гипербола: \( y = \frac{4}{x} \) - Прямая: \( y = 5 - x \) 2. Найдем точки пересечения этих линий, приравняв правые части уравнений: \[ 5 - x = \frac{4}{x} \] Умножим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \[ 5x - x^2 = 4 \] \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \] \[ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \] Точки пересечения имеют абсциссы \( x = 1 \) и \( x = 4 \). 3. Определим, какая функция находится выше на интервале \( (1, 4) \). Возьмем пробную точку \( x = 2 \): - Для прямой: \( y = 5 - 2 = 3 \) - Для гиперболы: \( y = \frac{4}{2} = 2 \) Так как \( 3 > 2 \), прямая \( y = 5 - x \) является верхней границей, а гипербола \( y = \frac{4}{x} \) — нижней. 4. Вычислим площадь \( S \) с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{1}^{4} ( (5 - x) - \frac{4}{x} ) dx \] \[ S = \int_{1}^{4} (5 - x - 4x^{-1}) dx \] 5. Найдем первообразную и вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница: \[ S = [5x - \frac{x^2}{2} - 4 \ln|x|] \Big|_{1}^{4} \] Подставим верхний предел \( x = 4 \): \[ (5 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} - 4 \ln 4) = (20 - 8 - 4 \ln 4) = 12 - 4 \ln 4 \] Подставим нижний предел \( x = 1 \): \[ (5 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - 4 \ln 1) = (5 - 0.5 - 0) = 4.5 \] Вычтем результаты: \[ S = (12 - 4 \ln 4) - 4.5 = 7.5 - 4 \ln 4 \] 6. Упростим логарифм: \( 4 \ln 4 = 4 \ln(2^2) = 8 \ln 2 \). \[ S = 7.5 - 8 \ln 2 \] Ответ: \[ S = 7.5 - 8 \ln 2 \approx 1.955 \]