Решение задачи: Доказательство равенства треугольников QKM и PFM

Задача 5

На рисунке изображены два треугольника: \(\triangle QKM\) и \(\triangle PFM\).

Нам дано:

1. Сторона \(QM\) равна стороне \(PM\) (обозначено одной черточкой).
2. Сторона \(KM\) равна стороне \(FM\) (обозначено двумя черточками).
3. Угол \(\angle QMK\) равен углу \(\angle PMF\) как вертикальные углы.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае:

• \(QM = PM\) (сторона)
• \(KM = FM\) (сторона)
• \(\angle QMK = \angle PMF\) (угол между сторонами)

Следовательно, \(\triangle QKM = \triangle PFM\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон. В частности, углы, лежащие против равных сторон, равны.

Против стороны \(KM\) в \(\triangle QKM\) лежит угол \(\angle KQM\). Против стороны \(FM\) в \(\triangle PFM\) лежит угол \(\angle FPM\).

Так как \(KM = FM\), то \(\angle KQM = \angle FPM\).

На рисунке также обозначены углы \(\angle KQM\) и \(\angle FPM\) одной дугой, что подтверждает их равенство.

Задача 6

На рисунке изображены два треугольника: \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\).

Нам дано:

1. Угол \(\angle OAB\) равен углу \(\angle OCD\) (обозначено одной дугой).
2. Угол \(\angle OBA\) равен углу \(\angle ODC\) (обозначено двумя дугами).
3. Сторона \(AO\) равна стороне \(CO\) (обозначено одной черточкой).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае, рассмотрим сторону \(AC\) и углы, прилежащие к ней. Однако, на рисунке даны углы \(\angle OAB\) и \(\angle OCD\), а также \(\angle OBA\) и \(\angle ODC\).

Давайте внимательно посмотрим на углы, прилежащие к стороне \(AO\) в \(\triangle AOB\) и к стороне \(CO\) в \(\triangle COD\).

У нас есть:

• Сторона \(AO = CO\).
• Угол \(\angle OAB = \angle OCD\).
• Угол \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В \(\triangle AOB\) сторона \(AO\) прилежит к углам \(\angle OAB\) и \(\angle AOB\).

В \(\triangle COD\) сторона \(CO\) прилежит к углам \(\angle OCD\) и \(\angle COD\).

Так как \(AO = CO\), \(\angle OAB = \angle OCD\) и \(\angle AOB = \angle COD\), то \(\triangle AOB = \triangle COD\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. В частности, сторона \(AB\) равна стороне \(CD\), и угол \(\angle OBA\) равен углу \(\angle ODC\).

На рисунке углы \(\angle OBA\) и \(\angle ODC\) обозначены двумя дугами, что подтверждает их равенство.

Задача 7

На рисунке изображены два треугольника: \(\triangle MEF\) и \(\triangle NPF\).

Нам дано:

1. Сторона \(ME\) равна стороне \(NP\) (обозначено одной черточкой).
2. Угол \(\angle EMF\) равен углу \(\angle NPF\) (обозначено одной дугой).
3. Угол \(\angle MFE\) равен углу \(\angle NFP\) как вертикальные углы.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае, рассмотрим сторону \(ME\) в \(\triangle MEF\) и сторону \(NP\) в \(\triangle NPF\).

У нас есть:

• Сторона \(ME = NP\).
• Угол \(\angle EMF = \angle NPF\).
• Угол \(\angle MFE = \angle NFP\) (вертикальные углы).

Однако, для применения второго признака, углы должны быть прилежащими к данной стороне. Угол \(\angle EMF\) прилежит к стороне \(ME\), а угол \(\angle MFE\) также прилежит к стороне \(ME\).

Аналогично, угол \(\angle NPF\) прилежит к стороне \(NP\), а угол \(\angle NFP\) также прилежит к стороне \(NP\).

Так как \(ME = NP\), \(\angle EMF = \angle NPF\) и \(\angle MFE = \angle NFP\), то \(\triangle MEF = \triangle NPF\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. В частности, сторона \(MF\) равна стороне \(NF\), и сторона \(EF\) равна стороне \(PF\).