Решение задачи № 890 (5) - Длина дуги кривой

Задача № 890 (5) Найти длину дуги кривой \( x = 2 - \frac{t^4}{4} \), \( y = \frac{t^6}{6} \) между точками ее пересечения с осями координат. Решение: 1. Найдем пределы интегрирования (значения параметра \( t \)), соответствующие точкам пересечения кривой с осями координат. Пересечение с осью \( Oy \) происходит при \( x = 0 \): \[ 2 - \frac{t^4}{4} = 0 \implies \frac{t^4}{4} = 2 \implies t^4 = 8 \implies t = \sqrt[4]{8} \] Пересечение с осью \( Ox \) происходит при \( y = 0 \): \[ \frac{t^6}{6} = 0 \implies t^6 = 0 \implies t = 0 \] Таким образом, пределы интегрирования: \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = \sqrt[4]{8} \). 2. Длина дуги кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле: \[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt \] 3. Найдем производные \( x(t) \) и \( y(t) \) по параметру \( t \): \[ x'(t) = \left( 2 - \frac{t^4}{4} \right)' = - \frac{4t^3}{4} = -t^3 \] \[ y'(t) = \left( \frac{t^6}{6} \right)' = \frac{6t^5}{6} = t^5 \] 4. Вычислим подынтегральное выражение: \[ \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = \sqrt{(-t^3)^2 + (t^5)^2} = \sqrt{t^6 + t^{10}} = \sqrt{t^6(1 + t^4)} = t^3 \sqrt{1 + t^4} \] (Так как на интервале интегрирования \( t \ge 0 \), то \( \sqrt{t^6} = t^3 \)). 5. Вычислим интеграл: \[ L = \int_{0}^{\sqrt[4]{8}} t^3 \sqrt{1 + t^4} dt \] Для решения воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( u = 1 + t^4 \), тогда \( du = 4t^3 dt \), откуда \( t^3 dt = \frac{1}{4} du \). Изменим пределы интегрирования: Если \( t = 0 \), то \( u = 1 + 0^4 = 1 \). Если \( t = \sqrt[4]{8} \), то \( u = 1 + (\sqrt[4]{8})^4 = 1 + 8 = 9 \). \[ L = \int_{1}^{9} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1/2} du = \frac{1}{4} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_1^9 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \left[ u\sqrt{u} \right]_1^9 \] \[ L = \frac{1}{6} (9\sqrt{9} - 1\sqrt{1}) = \frac{1}{6} (9 \cdot 3 - 1) = \frac{1}{6} (27 - 1) = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \] Ответ: \( L = 4\frac{1}{3} \).