Решение задачи: Найти AH в треугольнике ABC

Дано: В треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BM\) и высота \(BH\). \(AC = 84\). \(BC = BM\). Найти: \(AH\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(MBC\). По условию \(BC = BM\), следовательно, треугольник \(MBC\) является равнобедренным с основанием \(MC\). 2. В равнобедренном треугольнике \(MBC\) отрезок \(BH\) является высотой, проведенной к основанию \(MC\). По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, точка \(H\) — середина отрезка \(MC\). Отсюда: \[MH = HC = \frac{1}{2} MC\] 3. Так как \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), то точка \(M\) является серединой стороны \(AC\). Следовательно: \[AM = MC = \frac{1}{2} AC\] Подставим значение \(AC = 84\): \[AM = MC = \frac{84}{2} = 42\] 4. Теперь найдем длину отрезка \(MH\), используя результат из пункта 2: \[MH = \frac{1}{2} MC = \frac{42}{2} = 21\] 5. Искомый отрезок \(AH\) состоит из суммы отрезков \(AM\) и \(MH\): \[AH = AM + MH\] \[AH = 42 + 21 = 63\] Ответ: 63.