Решение задачи: расстояние от точки N до прямой MP

Задача №3 Дано: \( \triangle MKR \), \( MK = KP = 10 \) см, \( MP = 12 \) см. \( KN \perp (MKR) \), \( KN = 15 \) см. Найти: расстояние от точки \( N \) до прямой \( MP \). Решение: 1. Проведем высоту \( KH \) в равнобедренном треугольнике \( MKR \) к основанию \( MP \). Так как треугольник равнобедренный (\( MK = KP \)), то высота \( KH \) также является медианой. Следовательно: \[ MH = HP = \frac{MP}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \] 2. Из прямоугольного треугольника \( MKH \) (где \( \angle KHM = 90^\circ \)) по теореме Пифагора найдем \( KH \): \[ KH = \sqrt{MK^2 - MH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] 3. Соединим точки \( N \) и \( H \). Так как \( KN \perp (MKR) \), то \( KN \perp KH \). По теореме о трех перпендикулярах: так как \( KH \perp MP \), то и наклонная \( NH \perp MP \). Значит, длина отрезка \( NH \) и есть искомое расстояние от точки \( N \) до прямой \( MP \). 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( NKH \) (\( \angle NKH = 90^\circ \)). По теореме Пифагора найдем \( NH \): \[ NH = \sqrt{KN^2 + KH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \] Ответ: 17 см.