Решение задачи: определение фокусного расстояния линзы

Дано: \(h = 5\) см \(H_1 = 15\) см \(H_2 = 10\) см \(\Delta d = 1,5\) см Найти: \(F\) — ? Решение: 1. Линейное увеличение линзы \( \Gamma \) определяется как отношение высоты изображения к высоте предмета, а также как отношение расстояния от линзы до изображения \(f\) к расстоянию от линзы до предмета \(d\): \[ \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} \] 2. Для первого случая: \[ \Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{15}{5} = 3 \] Отсюда \( f_1 = 3d_1 \). 3. Для второго случая предмет отодвинули от линзы, значит \( d_2 = d_1 + \Delta d = d_1 + 1,5 \). Увеличение во втором случае: \[ \Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{10}{5} = 2 \] Отсюда \( f_2 = 2d_2 = 2(d_1 + 1,5) \). 4. Используем формулу тонкой линзы: \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \] Выразим фокусное расстояние через увеличение: \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{\Gamma d} = \frac{\Gamma + 1}{\Gamma d} \implies F = \frac{\Gamma d}{\Gamma + 1} \] Или в другом виде: \( d = \frac{F(\Gamma + 1)}{\Gamma} \). 5. Запишем это выражение для обоих случаев: Для первого: \( d_1 = \frac{F(3 + 1)}{3} = \frac{4}{3}F \) Для второго: \( d_2 = \frac{F(2 + 1)}{2} = \frac{3}{2}F \) 6. Подставим эти выражения в условие \( d_2 = d_1 + 1,5 \): \[ \frac{3}{2}F = \frac{4}{3}F + 1,5 \] Перенесем слагаемые с \(F\) в одну сторону: \[ \frac{3}{2}F - \frac{4}{3}F = 1,5 \] Приведем к общему знаменателю 6: \[ \frac{9}{6}F - \frac{8}{6}F = 1,5 \] \[ \frac{1}{6}F = 1,5 \] \[ F = 1,5 \cdot 6 \] \[ F = 9 \text{ см} \] Ответ: Фокусное расстояние линзы равно 9 см.