Решение задачи: Сокращение дробей и преобразование выражений

Вариант 1 1. Сократить дробь: а) \[\frac{14 a^4 b}{49 a^3 b^2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot a \cdot b}{7 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot b \cdot b} = \frac{2a}{7b}\] б) \[\frac{3x}{x^2 + 4x} = \frac{3x}{x(x + 4)} = \frac{3}{x + 4}\] в) \[\frac{y^2 - z^2}{2y + 2z} = \frac{(y - z)(y + z)}{2(y + z)} = \frac{y - z}{2}\] 2. Представьте в виде дроби: а) \[\frac{3x - 1}{x^2} + \frac{x - 9}{3x} = \frac{3(3x - 1) + x(x - 9)}{3x^2} = \frac{9x - 3 + x^2 - 9x}{3x^2} = \frac{x^2 - 3}{3x^2}\] б) \[\frac{1}{2a - b} - \frac{1}{2a + b} = \frac{(2a + b) - (2a - b)}{(2a - b)(2a + b)} = \frac{2a + b - 2a + b}{4a^2 - b^2} = \frac{2b}{4a^2 - b^2}\] в) \[\frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c^2 + 3c} = \frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c(c + 3)} = \frac{5c - (5c - 2)}{c(c + 3)} = \frac{5c - 5c + 2}{c(c + 3)} = \frac{2}{c^2 + 3c}\] 3. Выполнить действия: А) \[\frac{24 a^4}{c^3} \cdot \frac{c^4}{8 a^4} = \frac{24}{8} \cdot \frac{a^4}{a^4} \cdot \frac{c^4}{c^3} = 3c\] Б) \[\frac{7xy^2}{2} : 14x^2y^2 = \frac{7xy^2}{2 \cdot 14x^2y^2} = \frac{7}{2 \cdot 14} \cdot \frac{x}{x^2} \cdot \frac{y^2}{y^2} = \frac{1}{4x}\] В) \[\frac{m + 2n}{m - n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{5m + 10n} = \frac{(m + 2n) \cdot (m - n)(m + n)}{(m - n) \cdot 5(m + 2n)} = \frac{m + n}{5}\] Г) \[\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 25} : \frac{x - 1}{x^2 + 5x} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{x(x + 5)}{x - 1} = \frac{(x - 1) \cdot x}{x - 5} = \frac{x^2 - x}{x - 5}\] 4. Упростить выражение: А) \[(\frac{a^2 + b^2}{ab} + 2) \cdot \frac{ab}{a + b} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \cdot \frac{ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a + b} = a + b\] Б) \[(\frac{m}{mn - n^2} - \frac{1}{m - n}) : \frac{n}{n - m} = (\frac{m}{n(m - n)} - \frac{1}{m - n}) : \frac{n}{n - m} = \frac{m - n}{n(m - n)} \cdot \frac{n - m}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{-(m - n)}{n} = -\frac{1}{n}\]