Решение: Найти матрицу C = A + 3B

Экзаменационный билет №6 Дисциплина: Прикладная математика Задание 1. Найти матрицу \( C = A + 3B \), если \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -2 & 1 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \] Решение: 1) Сначала найдем матрицу \( 3B \), умножив каждый элемент матрицы \( B \) на 3: \[ 3B = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 9 \\ 6 & 12 & 3 \\ 3 & 9 & 0 \end{pmatrix} \] 2) Теперь найдем сумму \( A + 3B \): \[ C = \begin{pmatrix} 2 + (-3) & 3 + 0 & 0 + 9 \\ -2 + 6 & 1 + 12 & 8 + 3 \\ 2 + 3 & 4 + 9 & 3 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 9 \\ 4 & 13 & 11 \\ 5 & 13 & 3 \end{pmatrix} \] Ответ: \( C = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 9 \\ 4 & 13 & 11 \\ 5 & 13 & 3 \end{pmatrix} \) Задание 2. Вычислить определитель матрицы \( A \) методом разложения по элементам строки или столбца: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 7 & 2 & 5 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix} \] Решение: Разложим определитель по элементам первой строки (так как в ней есть нуль, это упростит расчет): \[ \Delta = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 8 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 3 \cdot (2 \cdot 3 - 5 \cdot 4) - 0 + 8 \cdot (7 \cdot 4 - 2 \cdot 5) \] \[ \Delta = 3 \cdot (6 - 20) + 8 \cdot (28 - 10) \] \[ \Delta = 3 \cdot (-14) + 8 \cdot 18 = -42 + 144 = 102 \] Ответ: 102. Задание 3. Какому пределу функции равен данный предел \( \lim_{x \to 15} \frac{x^2 - 225}{x^2 - 10x - 75} \)? Решение: При \( x = 15 \) получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \( x^2 - 225 = (x - 15)(x + 15) \). Знаменатель: \( x^2 - 10x - 75 = (x - 15)(x + 5) \). \[ \lim_{x \to 15} \frac{(x - 15)(x + 15)}{(x - 15)(x + 5)} = \lim_{x \to 15} \frac{x + 15}{x + 5} = \frac{15 + 15}{15 + 5} = \frac{30}{20} = 1,5 \] Среди предложенных вариантов: а) \( \lim_{x \to 15} \frac{x + 15}{x + 5} \). Ответ: а. Задание 4. Чему равен предел функции \( \lim_{x \to 210} \frac{\sqrt{x + 15} - 15}{x - 210} \)? Решение: При \( x = 210 \) имеем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ \lim_{x \to 210} \frac{(\sqrt{x + 15} - 15)(\sqrt{x + 15} + 15)}{(x - 210)(\sqrt{x + 15} + 15)} = \lim_{x \to 210} \frac{(x + 15) - 225}{(x - 210)(\sqrt{x + 15} + 15)} \] \[ = \lim_{x \to 210} \frac{x - 210}{(x - 210)(\sqrt{x + 15} + 15)} = \lim_{x \to 210} \frac{1}{\sqrt{x + 15} + 15} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{210 + 15} + 15} = \frac{1}{\sqrt{225} + 15} = \frac{1}{15 + 15} = \frac{1}{30} \] Ответ: \( \frac{1}{30} \). Задание 5. Найти производную второго порядка от функции \( f(x) = -x^3 + 3x - 2 \). Решение: 1) Найдем первую производную: \[ f'(x) = (-x^3 + 3x - 2)' = -3x^2 + 3 \] 2) Найдем вторую производную: \[ f''(x) = (-3x^2 + 3)' = -6x \] Ответ: \( -6x \). Задание 6. Найти интеграл и проверить результат дифференцированием \( \int (7x + 5)^4 dx \). Решение: Используем метод замены переменной или формулу \( \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \): \[ \int (7x + 5)^4 dx = \frac{(7x + 5)^5}{7 \cdot 5} + C = \frac{(7x + 5)^5}{35} + C \] Проверка: \[ \left( \frac{(7x + 5)^5}{35} + C \right)' = \frac{1}{35} \cdot 5(7x + 5)^4 \cdot (7x + 5)' = \frac{5}{35} \cdot (7x + 5)^4 \cdot 7 = \frac{35}{35} (7x + 5)^4 = (7x + 5)^4 \] Результат совпал с подвыражением под интегралом. Ответ: \( \frac{(7x + 5)^5}{35} + C \). Задание 7. Вычислить площадь металлической пластинки. Решение: Судя по графику, область ограничена кривой (вероятно, \( y = \frac{1}{x} \)), осью \( Ox \) (\( y = 0 \)) и прямыми \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Площадь вычисляется через определенный интеграл: \[ S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = \ln|x| \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2 \approx 0,693 \] Ответ: \( \ln 2 \) кв. ед.