Решение задач по теме: Перестановки, Сочетания

Самостоятельная работа по теме: «Перестановки, сочетания» Вариант 1 Задача 1. Сколькими способами можно поставить в очереди 8 людей? Решение: Количество способов расставить \(n\) объектов в ряд определяется числом перестановок \(P_n = n!\). Для 8 человек: \[P_8 = 8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320\] Ответ: 40320 способов. Задача 2. Посчитать факториал: а) \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\) б) \(12! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 = 479001600\) в) \(\frac{10!}{4!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{4!} = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 151200\) г) \(\frac{9!}{3! \cdot 4!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{6} = 5 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 2520\) Задача 3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали? Решение: Так как порядок выбора деталей не важен, используем формулу сочетаний \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\): \[C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 13 \cdot 7 \cdot 15 = 1365\] Ответ: 1365 способов. Задача 4. В классе изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на вторник, если в этот день должно быть 5 различных предметов? Решение: Порядок предметов в расписании важен, поэтому используем формулу размещений \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\): \[A_9^5 = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!} = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 15120\] Ответ: 15120 способов. Задача 5. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторения)? Решение: Выбираем 3 цифры из 6, порядок важен (размещения): \[A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120\] Ответ: 120 чисел. Задача 6. Сколькими способами из 24 человек можно выбрать троих дежурных? Решение: Порядок выбора дежурных не имеет значения, используем сочетания: \[C_{24}^3 = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24!}{3! \cdot 21!} = \frac{22 \cdot 23 \cdot 24}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 22 \cdot 23 \cdot 4 = 2024\] Ответ: 2024 способа. Задача 7. Из восьми членов организации нужно выбрать председателя, казначея и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Поскольку должности разные, порядок выбора важен. Используем размещения: \[A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 6 \cdot 7 \cdot 8 = 336\] Ответ: 336 способов. Задача 8. В магазине имеется 5 различных авторучек и 6 различных блокнотов. Сколькими способами можно выбрать для подарков 3 авторучки и 2 блокнота? Решение: Сначала выберем 3 ручки из 5, затем 2 блокнота из 6. По правилу произведения: \[C_5^3 \cdot C_6^2 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{4 \cdot 5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 6}{2} = 10 \cdot 15 = 150\] Ответ: 150 способов.