Сокращение дроби: ​ ​​​​​(5 - √5)/(√10 - √2)

Задание: Сократите дроби. а) \(\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}\) Решение: Для сокращения дроби представим числа в числителе и знаменателе в виде произведений корней. Заметим, что \(5 = (\sqrt{5})^2\), а \(\sqrt{10} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}\). \[ \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5})^2 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2}} \] Вынесем за скобки общие множители: в числителе \(\sqrt{5}\), в знаменателе \(\sqrt{2}\). \[ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} \] Сократим дробь на общий множитель \((\sqrt{5} - 1)\): \[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \] Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) б) \(\frac{b - 4}{\sqrt{b} - 2}\) Решение: Представим число \(b\) как \((\sqrt{b})^2\), а число \(4\) как \(2^2\). Тогда в числителе мы получим разность квадратов. Используем формулу \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). \[ \frac{b - 4}{\sqrt{b} - 2} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 2^2}{\sqrt{b} - 2} \] Разложим числитель на множители: \[ \frac{(\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)}{\sqrt{b} - 2} \] Сократим дробь на общий множитель \((\sqrt{b} - 2)\): \[ \sqrt{b} + 2 \] Ответ: \(\sqrt{b} + 2\)