Решение: Построение интерполяционного полинома Ньютона

Построение интерполяционного полинома Ньютона. Даны узлы интерполяции и значения функции в них: \[ x_1 = -1, \quad y_1 = -1 \] \[ x_2 = 0, \quad y_2 = 1 \] \[ x_3 = 1, \quad y_3 = -1 \] Для построения полинома Ньютона воспользуемся разделенными разностями. 1. Разделенные разности первого порядка: \[ f(x_1, x_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{2}{1} = 2 \] \[ f(x_2, x_3) = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{-1 - 1}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2 \] 2. Разделенная разность второго порядка: \[ f(x_1, x_2, x_3) = \frac{f(x_2, x_3) - f(x_1, x_2)}{x_3 - x_1} = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2 \] Общая формула интерполяционного полинома Ньютона имеет вид: \[ P_2(x) = y_1 + f(x_1, x_2) \cdot (x - x_1) + f(x_1, x_2, x_3) \cdot (x - x_1)(x - x_2) \] Подставим найденные значения: \[ P_2(x) = -1 + 2 \cdot (x - (-1)) + (-2) \cdot (x - (-1))(x - 0) \] \[ P_2(x) = -1 + 2(x + 1) - 2x(x + 1) \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ P_2(x) = -1 + 2x + 2 - 2x^2 - 2x \] \[ P_2(x) = -2x^2 + 1 \] Проверка: При \( x = -1 \): \( P_2(-1) = -2(-1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1 \) (верно) При \( x = 0 \): \( P_2(0) = -2(0)^2 + 1 = 1 \) (верно) При \( x = 1 \): \( P_2(1) = -2(1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1 \) (верно) Ответ: \( P_2(x) = -2x^2 + 1 \)