Решение задач: Теоремы синусов и косинусов

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задание 2. Заполните пустые клетки 1) Теорема синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] 2) Теорема косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] 3) Следствие из теоремы синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \] Задание 3. Решите задачи 1) Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(\angle BCA = 75^\circ\), \(\angle ACD = 60^\circ\), \(AD = 3\sqrt{3}\). Найти \(AC\). Решение: Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle CAD = \angle BCA = 75^\circ\) (накрест лежащие). В \(\triangle ACD\): \(\angle D = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 45^\circ\). По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin D} = \frac{AD}{\sin \angle ACD} \Rightarrow \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} \] \[ AC = \frac{3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{2} \] Ответ: \(3\sqrt{2}\). 2) Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = 6\), \(BC = 6\sqrt{3}\), \(\angle A = 60^\circ\). Найти \(\angle C\). Решение: По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sin C} \] \[ \sin C = \frac{6 \cdot \sin 60^\circ}{6\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] Следовательно, \(\angle C = 30^\circ\). Ответ: \(30^\circ\). 3) Дано: \(R = 7\sqrt{3}\), \(\angle ABC = 120^\circ\). Найти \(AC\). Решение: По теореме синусов для хорды: \[ AC = 2R \sin \angle ABC = 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sin 120^\circ \] \[ AC = 14\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot 3 = 21 \] Ответ: \(21\). 4) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle BAC = 30^\circ\), \(AB = 3\sqrt{3}\), \(AC = 4\). Найти \(BC\). Решение: По теореме косинусов: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] \[ BC^2 = (3\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ \] \[ BC^2 = 27 + 16 - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 43 - 36 = 7 \] \[ BC = \sqrt{7} \] Ответ: \(\sqrt{7}\). 5) Дано: \(AB = 6\), \(BC = 5\), \(AC = 9\). Найти \(\cos A\). Решение: По теореме косинусов: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] \[ 5^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos A \] \[ 25 = 36 + 81 - 108 \cos A \] \[ 108 \cos A = 117 - 25 = 92 \] \[ \cos A = \frac{92}{108} = \frac{23}{27} \] Ответ: \(\frac{23}{27}\). 6) Дано: стороны \(11\) см и \(3\sqrt{3}\) см, угол \(150^\circ\). Найти меньшую диагональ. Решение: Меньшая диагональ лежит против острого угла. Острый угол равен \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Пусть \(a = 11\), \(b = 3\sqrt{3}\), \(\alpha = 30^\circ\). \[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos 30^\circ \] \[ d^2 = 11^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ d^2 = 121 + 27 - 99 = 49 \] \[ d = 7 \] Ответ: \(7\) см.