Решение задачи: Решить треугольник ABC

Ниже представлено решение задания №4. Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. Задание 4. Решите треугольник ABC 1) Дано: \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\), \(AB = c = 5\). Решение: 1. Находим \(\angle C\): \[ \angle C = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ \] 2. По теореме синусов находим сторону \(a\) (\(BC\)): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = \frac{5 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0,5}{0,9659} \approx 2,59 \] 3. Находим сторону \(b\) (\(AC\)): \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow b = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0,7071}{0,9659} \approx 3,66 \] Ответ: \(\angle C = 105^\circ\), \(BC \approx 2,59\), \(AC \approx 3,66\). 2) Дано: \(\angle A = 65^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\), \(AB = c = 15\). Решение: 1. Находим \(\angle B\): \[ \angle B = 180^\circ - (65^\circ + 60^\circ) = 55^\circ \] 2. По теореме синусов находим сторону \(a\) (\(BC\)): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = \frac{15 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,9063}{0,8660} \approx 15,7 \] 3. Находим сторону \(b\) (\(AC\)): \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow b = \frac{15 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,8192}{0,8660} \approx 14,19 \] Ответ: \(\angle B = 55^\circ\), \(BC \approx 15,7\), \(AC \approx 14,19\). 3) Дано: \(\angle B = 60^\circ\), \(AB = c = 14\), \(BC = a = 20\). Решение: 1. По теореме косинусов находим сторону \(b\) (\(AC\)): \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = 20^2 + 14^2 - 2 \cdot 20 \cdot 14 \cdot \cos 60^\circ \] \[ b^2 = 400 + 196 - 560 \cdot 0,5 = 596 - 280 = 316 \] \[ b = \sqrt{316} \approx 17,78 \] 2. По теореме синусов находим \(\angle A\): \[ \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} \approx \frac{20 \cdot 0,8660}{17,78} \approx 0,9741 \Rightarrow \angle A \approx 76,9^\circ \] 3. Находим \(\angle C\): \[ \angle C = 180^\circ - (60^\circ + 76,9^\circ) = 43,1^\circ \] Ответ: \(AC \approx 17,78\), \(\angle A \approx 76,9^\circ\), \(\angle C \approx 43,1^\circ\). 4) Дано: \(\angle B = 80^\circ\), \(AB = c = 15\), \(BC = a = 19\). Решение: 1. По теореме косинусов находим сторону \(b\) (\(AC\)): \[ b^2 = 19^2 + 15^2 - 2 \cdot 19 \cdot 15 \cdot \cos 80^\circ \approx 361 + 225 - 570 \cdot 0,1736 \] \[ b^2 \approx 586 - 98,95 = 487,05 \Rightarrow b \approx 22,07 \] 2. По теореме синусов находим \(\angle A\): \[ \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} \approx \frac{19 \cdot 0,9848}{22,07} \approx 0,8478 \Rightarrow \angle A \approx 58^\circ \] 3. Находим \(\angle C\): \[ \angle C = 180^\circ - (80^\circ + 58^\circ) = 42^\circ \] Ответ: \(AC \approx 22,07\), \(\angle A \approx 58^\circ\), \(\angle C \approx 42^\circ\). 5) Дано: \(AB = c = 2\), \(BC = a = 3\), \(AC = b = 4\). Решение: 1. По теореме косинусов находим \(\angle A\): \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 2^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{16 + 4 - 9}{16} = \frac{11}{16} = 0,6875 \] \[ \angle A \approx 46,6^\circ \] 2. Находим \(\angle B\): \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{3^2 + 2^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 16}{12} = -\frac{3}{12} = -0,25 \] \[ \angle B \approx 104,5^\circ \] 3. Находим \(\angle C\): \[ \angle C = 180^\circ - (46,6^\circ + 104,5^\circ) = 28,9^\circ \] Ответ: \(\angle A \approx 46,6^\circ\), \(\angle B \approx 104,5^\circ\), \(\angle C \approx 28,9^\circ\).