Решение задачи на подобие треугольников (8 класс)

Итоговая контрольная работа по теме «Подобие треугольников», 8 класс. Вариант 1. Задача 1. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Сторона \(AB\) соответствует \(A_1B_1\), \(BC\) соответствует \(B_1C_1\). По рисунку 1 (верхний ряд): \(AB = 12\), \(A_1B_1 = 6\), \(B_1C_1 = 8\), \(A_1C_1 = 9\). Найти: \(BC\), \(AC\). Решение: Так как треугольники подобны, отношения их соответственных сторон равны коэффициенту подобия \(k\): \[k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2\] Найдем неизвестные стороны: \[BC = k \cdot B_1C_1 = 2 \cdot 8 = 16\] \[AC = k \cdot A_1C_1 = 2 \cdot 9 = 18\] Ответ: \(BC = 16\), \(AC = 18\). Задача 2. Дано: Стороны первого треугольника \(a_1 = 5\) см, \(b_1 = 3\) см, \(c_1 = 7\) см. Периметр второго треугольника \(P_2 = 105\) см. Найти: Стороны второго треугольника \(a_2, b_2, c_2\). Решение: 1) Найдем периметр первого треугольника: \[P_1 = 5 + 3 + 7 = 15 \text{ см}\] 2) Найдем коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{105}{15} = 7\] 3) Вычислим стороны второго треугольника: \[a_2 = 5 \cdot 7 = 35 \text{ см}\] \[b_2 = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см}\] \[c_2 = 7 \cdot 7 = 49 \text{ см}\] Ответ: 35 см, 21 см, 49 см. Задача 3. Дано: Сходственные стороны \(a_1 = 7\) см, \(a_2 = 35\) см. Площадь первого треугольника \(S_1 = 27 \text{ см}^2\). Найти: \(S_2\). Решение: 1) Найдем коэффициент подобия: \[k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{35}{7} = 5\] 2) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_2}{S_1} = k^2 \Rightarrow S_2 = S_1 \cdot k^2\] \[S_2 = 27 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675 \text{ см}^2\] Ответ: 675 \(\text{см}^2\). Задача 4. Дано: Сумма двух сторон \(a + b = 91\) см. Биссектриса к третьей стороне делит её в отношении \(5:8\). Найти: \(a\) и \(b\). Решение: По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[\frac{a}{b} = \frac{5}{8} \Rightarrow a = 5x, b = 8x\] Составим уравнение по условию суммы сторон: \[5x + 8x = 91\] \[13x = 91\] \[x = 7\] Тогда стороны равны: \[a = 5 \cdot 7 = 35 \text{ см}\] \[b = 8 \cdot 7 = 56 \text{ см}\] Ответ: 35 см и 56 см. Задача 5. Доказать подобие треугольников по Рис. 2. Дано: \(\triangle ABC\) со сторонами \(AB=15, BC=21, AC=27\). \(\triangle A_1B_1C_1\) со сторонами \(A_1B_1=5, B_1C_1=7, A_1C_1=9\). Доказательство: Проверим пропорциональность сторон: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{5} = 3\] \[\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{21}{7} = 3\] \[\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{27}{9} = 3\] Так как \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам). Что и требовалось доказать. Задача 6. Дано: Стороны параллелограмма \(a = 15\) см, \(b = 30\) см. Расстояние между меньшими сторонами (высота \(h_a\)) равна 20 см. Найти: Расстояние между большими сторонами (\(h_b\)). Решение: Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами: \[S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\] \[15 \cdot 20 = 30 \cdot h_b\] \[300 = 30 \cdot h_b\] \[h_b = 10 \text{ см}\] Ответ: 10 см. Задача 7. Доказать подобие треугольников по Рис. 3. Дано: \(\triangle ABC\) (\(AB=15, AC=18, \angle A = 47^\circ\)), \(\triangle A_1B_1C_1\) (\(A_1B_1=10, A_1C_1=12, \angle A_1 = 47^\circ\)). Доказательство: 1) Углы при вершинах \(A\) и \(A_1\) равны: \(\angle A = \angle A_1 = 47^\circ\). 2) Проверим отношение сторон, образующих эти углы: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{10} = 1,5\] \[\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{18}{12} = 1,5\] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) по второму признаку подобия. Что и требовалось доказать.