Решение задач по математике: примеры оформления

Ниже представлено решение экзаменационных заданий по математике, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Дано: Сумма кредита \( S = 120000 \) руб. Процентная ставка \( p = 20\% \) годовых. Срок \( n = 12 \) месяцев. Найти: ежемесячный платеж. Решение: 1) Вычислим общую сумму долга с учетом процентов за год: \[ 120000 + 120000 \cdot 0,2 = 120000 + 24000 = 144000 \text{ руб.} \] 2) Вычислим ежемесячный платеж, разделив общую сумму на 12 месяцев: \[ 144000 : 12 = 12000 \text{ руб.} \] Ответ: 12000 рублей. Задание 2. Вычислить: \[ \frac{4\frac{1}{3} - 6\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{14}}{8\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} - 1\frac{1}{2}} \] Решение по действиям: 1) Числитель: \[ 6\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{14} = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \] \[ 4\frac{1}{3} - 3\frac{1}{3} = 1 \] 2) Знаменатель: \[ 8\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{35}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \] \[ 2\frac{1}{2} - 1\frac{1}{2} = 1 \] 3) Итоговое значение: \[ \frac{1}{1} = 1 \] Ответ: 1. Задание 3. Вычислить: \[ \frac{44^{10}}{11^9 \cdot 16^5} \] Решение: Разложим числа на простые множители: \( 44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11 \), \( 16 = 2^4 \). \[ \frac{(2^2 \cdot 11)^{10}}{11^9 \cdot (2^4)^5} = \frac{2^{20} \cdot 11^{10}}{11^9 \cdot 2^{20}} \] Сократим на \( 2^{20} \) и \( 11^9 \): \[ \frac{11^{10}}{11^9} = 11^{10-9} = 11^1 = 11 \] Ответ: 11. Задание 4. Найти значение выражения: \[ \log_3 900 - \log_3 100 \] Решение: Используем свойство разности логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \). \[ \log_3 \frac{900}{100} = \log_3 9 \] Так как \( 3^2 = 9 \), то: \[ \log_3 9 = 2 \] Ответ: 2. Задание 5. Решить уравнение: \[ 16 + 4^x - 5 \cdot 2^{x+1} = 0 \] Решение: Преобразуем уравнение: \[ (2^2)^x - 5 \cdot 2^1 \cdot 2^x + 16 = 0 \] \[ (2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 = 0 \] Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 10t + 16 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 10 \] \[ t_1 \cdot t_2 = 16 \] Корни: \( t_1 = 2 \), \( t_2 = 8 \). Вернемся к замене: 1) \( 2^x = 2 \Rightarrow x_1 = 1 \) 2) \( 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x_2 = 3 \) Ответ: 1; 3. Задание 6. Решение: 1) Найдем площадь стен комнаты (периметр умножить на высоту): \[ P = 2 \cdot (4 + 6) = 20 \text{ м} \] \[ S_{стен} = 20 \cdot 3,5 = 70 \text{ м}^2 \] 2) Найдем площадь окон и двери: \[ S_{окон} = 2 \cdot (1 \cdot 1,5) = 3 \text{ м}^2 \] \[ S_{двери} = 1 \cdot 2 = 2 \text{ м}^2 \] 3) Площадь под покраску: \[ S = 70 - 3 - 2 = 65 \text{ м}^2 \] 4) Найдем необходимую массу краски: \[ M = 65 \cdot 0,5 = 32,5 \text{ кг} \] 5) Найдем количество банок (в одной банке 4 кг): \[ N = 32,5 : 4 = 8,125 \] Так как краска продается целыми банками, округляем в большую сторону. \[ N = 9 \text{ банок} \] Ответ: 9 банок.