Решение квадратных уравнений: примеры

Ниже представлено решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Решите уравнения. а) \(x^2 - 3x - 18 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} \] Подбором находим корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -3\). Ответ: -3; 6. б) \(x^2 = 2x + 48\) Перенесем всё в левую часть: \(x^2 - 2x - 48 = 0\) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -48 \end{cases} \] \(x_1 = 8\), \(x_2 = -6\). Ответ: -6; 8. в) \(-3x^2 + 4 = 0\) \(-3x^2 = -4\) \(x^2 = \frac{4}{3}\) \(x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\) Ответ: \(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\). г) \(20x - 25x^2 = 0\) Вынесем общий множитель за скобки: \(5x(4 - 5x) = 0\) \(5x = 0\) или \(4 - 5x = 0\) \(x_1 = 0\) \(5x = 4 \Rightarrow x_2 = 0,8\) Ответ: 0; 0,8. д) \(25x^2 - 1 = 0\) \(25x^2 = 1\) \(x^2 = \frac{1}{25}\) \(x = \pm \frac{1}{5} = \pm 0,2\) Ответ: -0,2; 0,2. е) \(x^2 + 3\sqrt{2}x + 4 = 0\) Найдем дискриминант: \[ D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2} \] \(x_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\) \(x_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}\) Ответ: \(-2\sqrt{2}; -\sqrt{2}\). Задание 2. Решите уравнения. а) \(\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x + 3}{3}\) ОДЗ: \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\). Используем свойство пропорции: \(3(x^2 + 4x) = (2x + 3)(x + 2)\) \(3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x + 3x + 6\) \(3x^2 + 12x - 2x^2 - 7x - 6 = 0\) \(x^2 + 5x - 6 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = -6\), \(x_2 = 1\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: -6; 1. б) \(\frac{3x + 1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 1\) ОДЗ: \(x \neq -2, x \neq 2\). Приведем к общему знаменателю \((x+2)(x-2)\): \((3x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2) = (x + 2)(x - 2)\) \(3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4\) \(3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4\) \(2x^2 - 6x = x^2 - 4\) \(x^2 - 6x + 4 = 0\) \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] Ответ: \(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}\). в) \((x - 2)^2 = -3x + 5\) Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \(x^2 - 4x + 4 = -3x + 5\) \(x^2 - 4x + 3x + 4 - 5 = 0\) \(x^2 - x - 1 = 0\) \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Ответ: \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\).