Решение квадратных уравнений: подробный разбор примеров

Ниже представлено решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Решите квадратные уравнения. а) \( 14x^2 + 5x - 1 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 14} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \] \[ x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 14} = \frac{-14}{28} = -0,5 \] Ответ: \( \frac{1}{7}; -0,5 \). б) \( x^2 - 8x + 15 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 8 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 15 \] Методом подбора находим: \[ x_1 = 3, x_2 = 5 \] Ответ: 3; 5. в) \( 17x^2 - 34x = 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \[ 17x(x - 2) = 0 \] \[ 17x = 0 \text{ или } x - 2 = 0 \] \[ x_1 = 0, x_2 = 2 \] Ответ: 0; 2. г) \( 0,01x^2 - 1 = 0 \) \[ 0,01x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{0,01} \] \[ x^2 = 100 \] \[ x_1 = 10, x_2 = -10 \] Ответ: 10; -10. д) \( 4x^2 + 4\sqrt{3}x + 1 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 \cdot 3 - 16 = 48 - 16 = 32 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Корни: \[ x = \frac{-4\sqrt{3} \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{2}}{2} \] Ответ: \( \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{2}}{2} \). е) \( x^2 + 2x - 7 = 0 \) \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32 \] \[ \sqrt{D} = 4\sqrt{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2} \] Ответ: \( -1 \pm 2\sqrt{2} \). Задание 2. Решите уравнения. а) \( \frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9} \) ОДЗ: \( x \neq 1 \). По свойству пропорции: \[ 9(x^2 - 5) = (x - 1)(7x + 10) \] \[ 9x^2 - 45 = 7x^2 + 10x - 7x - 10 \] \[ 2x^2 - 3x - 35 = 0 \] \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2 \] \[ x_1 = \frac{3 + 17}{4} = 5 \] \[ x_2 = \frac{3 - 17}{4} = -3,5 \] Оба корня подходят по ОДЗ. Ответ: 5; -3,5. б) \( \frac{3x + 2}{x - 3} - \frac{x + 2}{x + 3} = 1 \) ОДЗ: \( x \neq 3, x \neq -3 \). Приведем к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) \): \[ (3x + 2)(x + 3) - (x + 2)(x - 3) = (x - 3)(x + 3) \] \[ (3x^2 + 9x + 2x + 6) - (x^2 - 3x + 2x - 6) = x^2 - 9 \] \[ 3x^2 + 11x + 6 - x^2 + x + 6 = x^2 - 9 \] \[ x^2 + 12x + 21 = 0 \] \[ D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 144 - 84 = 60 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \] \[ x = \frac{-12 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -6 \pm \sqrt{15} \] Ответ: \( -6 \pm \sqrt{15} \). в) \( (x - 1)^2 = 1 - 2(x + 3) \) Раскроем скобки: \[ x^2 - 2x + 1 = 1 - 2x - 6 \] \[ x^2 - 2x + 1 = -2x - 5 \] Перенесем всё в левую часть: \[ x^2 + 6 = 0 \] \[ x^2 = -6 \] Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет.