Решение задач: Контрольная работа №2, Вариант I

Контрольная работа №2. Вариант I. Задача 1. Дано: \(a = 5\) см — сторона треугольника; \(h = 2a\) — высота, проведенная к этой стороне. Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: 1. Найдем высоту треугольника: \[h = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (см)}\] 2. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 25 \(см^2\). Задача 2. Дано: \(a = 6\) см, \(b = 8\) см — катеты прямоугольного треугольника. Найти: \(c\) — гипотенузу, \(S\) — площадь. Решение: 1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу: \[c^2 = a^2 + b^2\] \[c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\] \[c = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}\] 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 10 см; 24 \(см^2\). Задача 3. Дано: \(d_1 = 8\) см, \(d_2 = 10\) см — диагонали ромба. Найти: \(S\) — площадь, \(P\) — периметр. Решение: 1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \text{ (см}^2\text{)}\] 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей. Его катеты: \[\frac{d_1}{2} = 4 \text{ см, } \frac{d_2}{2} = 5 \text{ см}\] 3. Найдем сторону ромба \(a\) по теореме Пифагора: \[a^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\] \[a = \sqrt{41} \text{ (см)}\] 4. Периметр ромба: \[P = 4a = 4\sqrt{41} \text{ (см)}\] Ответ: 40 \(см^2\); \(4\sqrt{41}\) см. Задача 4. Дано: \(ABCK\) — прямоугольная трапеция (\(\angle A = \angle B = 90^\circ\)); \(CK = 3\sqrt{2}\) см — большая боковая сторона; \(\angle K = 45^\circ\); \(CH \perp AK\), \(AH = HK\). Найти: \(S\) — площадь трапеции. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CHK\) (\(\angle H = 90^\circ\)). Так как \(\angle K = 45^\circ\), то \(\angle HCK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Значит, треугольник \(CHK\) — равнобедренный, \(CH = HK\). 2. По определению синуса: \[CH = CK \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \text{ (см)}\] Следовательно, \(HK = CH = 3\) см. 3. По условию \(AH = HK\), значит \(AH = 3\) см. 4. Так как \(ABCH\) — прямоугольник, то верхнее основание \(BC = AH = 3\) см. 5. Нижнее основание \(AK = AH + HK = 3 + 3 = 6\) см. 6. Площадь трапеции: \[S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH\] \[S = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 4,5 \cdot 3 = 13,5 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 13,5 \(см^2\).