Решение дифференциального уравнения y'' + 2y' + y = 0

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Задание 5. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. \[y'' + 2y' + y = 0\] Решение: 1. Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения. Для этого заменим \(y''\) на \(k^2\), \(y'\) на \(k\), а \(y\) на 1. \[k^2 + 2k + 1 = 0\] 2. Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что это полный квадрат: \[(k + 1)^2 = 0\] 3. Найдем корни характеристического уравнения. \[k + 1 = 0\] \[k = -1\] Мы получили один корень \(k = -1\), который имеет кратность 2 (то есть, это повторяющийся корень). 4. Для случая повторяющихся корней характеристического уравнения, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид: \[y(x) = C_1 e^{kx} + C_2 x e^{kx}\] Подставим найденный корень \(k = -1\) в формулу общего решения. \[y(x) = C_1 e^{-1 \cdot x} + C_2 x e^{-1 \cdot x}\] \[y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}\] 5. Вынесем общий множитель \(e^{-x}\) за скобки для более компактной записи. \[y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x}\] Ответ: Общее решение данного дифференциального уравнения: \[y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x}\]