Решение задачи Бернулли: 2 успеха и 4 неудачи

Ниже представлено решение задач 2-го варианта из вашей контрольной работы, оформленное для записи в тетрадь. 2 вариант. Задача 1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p = 1/4\). Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем — 4 неудачи. Решение: Вероятность успеха в одном испытании: \(p = \frac{1}{4}\). Вероятность неудачи: \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Элементарное событие представляет собой конкретную последовательность: (У, У, Н, Н, Н, Н). Так как испытания независимы, вероятность такой последовательности равна произведению вероятностей: \[P = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4\] \[P = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096}\] Ответ: \(\frac{81}{4096}\). Задача 2. Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли? Решение: Количество способов выбрать 3 позиции для успехов из 9 возможных испытаний определяется числом сочетаний из 9 по 3: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 84\] Ответ: 84. Задача 3. Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету. Решение: Это схема Бернулли, где \(n = 12\), \(k = 7\). Вероятность выпадения орла \(p = 0,5\), вероятность решки \(q = 0,5\). Формула Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\). \[C_{12}^7 = \frac{12!}{7! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792\] \[P_{12}(7) = 792 \cdot (0,5)^7 \cdot (0,5)^5 = 792 \cdot (0,5)^{12} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512} \approx 0,193\] Ответ: \(\frac{99}{512}\) (или примерно 0,193). Задача 4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите вероятность того, что, сделав 6 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз. Решение: Дано: \(n = 6\), \(p = 0,6\), \(q = 0,4\). Нужно найти \(P(k \ge 2)\). Проще найти вероятность противоположного события: стрелок попал 0 или 1 раз, и вычесть её из единицы. \[P(k \ge 2) = 1 - (P_6(0) + P_6(1))\] Вычислим вероятности: \[P_6(0) = C_6^0 \cdot p^0 \cdot q^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0,4)^6 = 0,004096\] \[P_6(1) = C_6^1 \cdot p^1 \cdot q^5 = 6 \cdot 0,6 \cdot (0,4)^5 = 3,6 \cdot 0,01024 = 0,036864\] Сумма: \[P(0) + P(1) = 0,004096 + 0,036864 = 0,04096\] Искомая вероятность: \[P(k \ge 2) = 1 - 0,04096 = 0,95904\] Ответ: 0,95904.