Решение задачи на угловую скорость и ускорение колес

Дано: \[ \phi_1(t) = 2(t^2 - 3t) \text{ рад} \] \[ R_1 = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м} \] \[ R_2 = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м} \] \[ r_2 = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \] \[ t = 2 \text{ с} \] Найти: \( v_3, a_3 \). Решение: 1. Найдем угловую скорость и угловое ускорение первого колеса. Угловая скорость \( \omega_1 \) — это первая производная от угла поворота по времени: \[ \omega_1 = \frac{d\phi_1}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 - 6t) = 4t - 6 \text{ (рад/с)} \] Угловое ускорение \( \varepsilon_1 \) — это вторая производная от угла поворота: \[ \varepsilon_1 = \frac{d\omega_1}{dt} = 4 \text{ (рад/с}^2) \] 2. Колеса 1 и 2 соединены ременной передачей. Скорости точек на ободах колес, соединенных ремнем, равны: \[ v_{R1} = v_{R2} \Rightarrow \omega_1 \cdot R_1 = \omega_2 \cdot R_2 \] Отсюда выразим угловую скорость второго колеса: \[ \omega_2 = \omega_1 \cdot \frac{R_1}{R_2} = (4t - 6) \cdot \frac{0,6}{0,4} = 1,5 \cdot (4t - 6) = 6t - 9 \text{ (рад/с)} \] Аналогично для углового ускорения: \[ \varepsilon_2 = \varepsilon_1 \cdot \frac{R_1}{R_2} = 4 \cdot 1,5 = 6 \text{ (рад/с}^2) \] 3. Груз 3 подвешен на нити, намотанной на малый радиус \( r_2 \) второго колеса. Скорость и ускорение груза равны линейной скорости и тангенциальному ускорению точек на этом радиусе: \[ v_3 = \omega_2 \cdot r_2 \] \[ a_3 = \varepsilon_2 \cdot r_2 \] 4. Вычислим значения в момент времени \( t = 2 \text{ с} \): Угловая скорость второго колеса: \[ \omega_2(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 12 - 9 = 3 \text{ рад/с} \] Скорость груза: \[ v_3 = 3 \cdot 0,2 = 0,6 \text{ м/с} \] Ускорение груза: \[ a_3 = 6 \cdot 0,2 = 1,2 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \( v_3 = 0,6 \text{ м/с} \), \( a_3 = 1,2 \text{ м/с}^2 \).