Хорошо, давайте решим эти задачи.
Задача 3
Дано уравнение сложного колебания:
\(f(t) = 2 + 0,19t + 0,6\sin(t) - 0,2\cos(2t) - 0,3\cos(3t) - 0,9\cos(6t) + 0,7\cos(7t)\)
Нарисуйте амплитудный спектр этого сложного колебания.
Решение:
Амплитудный спектр показывает зависимость амплитуды каждой гармонической составляющей от её частоты. В данном уравнении сложного колебания присутствуют несколько составляющих:
1. Постоянная составляющая (смещение): \(A_0 = 2\). Это соответствует нулевой частоте (\(\omega = 0\)).
2. Линейно возрастающая составляющая: \(0,19t\). Эта составляющая не является гармонической и не имеет определённой частоты в рамках дискретного спектра Фурье. Она указывает на то, что колебание не является стационарным, а его среднее значение со временем изменяется. Для построения амплитудного спектра обычно рассматривают только гармонические составляющие.
3. Гармонические составляющие:
* \(0,6\sin(t)\): Амплитуда \(A_1 = 0,6\), угловая частота \(\omega_1 = 1\).
* \(-0,2\cos(2t)\): Амплитуда \(A_2 = 0,2\), угловая частота \(\omega_2 = 2\). (Знак минус указывает на фазу, но для амплитудного спектра важна только абсолютная величина амплитуды).
* \(-0,3\cos(3t)\): Амплитуда \(A_3 = 0,3\), угловая частота \(\omega_3 = 3\).
* \(-0,9\cos(6t)\): Амплитуда \(A_4 = 0,9\), угловая частота \(\omega_4 = 6\).
* \(0,7\cos(7t)\): Амплитуда \(A_5 = 0,7\), угловая частота \(\omega_5 = 7\).
Для построения амплитудного спектра мы откладываем по горизонтальной оси угловые частоты \(\omega\), а по вертикальной оси — соответствующие им амплитуды \(A\).
Амплитудный спектр:
* При \(\omega = 0\): Амплитуда \(A_0 = 2\) (постоянная составляющая).
* При \(\omega = 1\): Амплитуда \(A_1 = 0,6\).
* При \(\omega = 2\): Амплитуда \(A_2 = 0,2\).
* При \(\omega = 3\): Амплитуда \(A_3 = 0,3\).
* При \(\omega = 6\): Амплитуда \(A_4 = 0,9\).
* При \(\omega = 7\): Амплитуда \(A_5 = 0,7\).
Линейно возрастающая составляющая \(0,19t\) не отображается на дискретном амплитудном спектре, так как она не является гармонической.
График амплитудного спектра:
(Представьте себе график с осями: горизонтальная ось - \(\omega\), вертикальная ось - \(A\). На этом графике будут вертикальные линии (столбики) в указанных точках):
* Столбик высотой 2 на \(\omega = 0\).
* Столбик высотой 0,6 на \(\omega = 1\).
* Столбик высотой 0,2 на \(\omega = 2\).
* Столбик высотой 0,3 на \(\omega = 3\).
* Столбик высотой 0,9 на \(\omega = 6\).
* Столбик высотой 0,7 на \(\omega = 7\).
Задача 4
Сухожилие длиной 16 см под действием силы 12,4 Н удлиняется на 3,3 мм. Сухожилие можно считать круглым в сечении с диаметром 8,6 мм. Рассчитать модуль упругости этого сухожилия.
Дано:
Начальная длина сухожилия \(L_0 = 16 \text{ см} = 0,16 \text{ м}\)
Сила \(F = 12,4 \text{ Н}\)
Удлинение \(\Delta L = 3,3 \text{ мм} = 0,0033 \text{ м}\)
Диаметр сухожилия \(d = 8,6 \text{ мм} = 0,0086 \text{ м}\)
Найти:
Модуль упругости (модуль Юнга) \(E\)
Решение:
Модуль упругости (модуль Юнга) определяется по формуле:
\[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\]
Где \(\sigma\) — механическое напряжение, а \(\varepsilon\) — относительное удлинение.
Механическое напряжение \(\sigma\) определяется как сила, деленная на площадь поперечного сечения:
\[\sigma = \frac{F}{S}\]
Площадь поперечного сечения \(S\) для круглого сухожилия:
\[S = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\]
Относительное удлинение \(\varepsilon\) определяется как удлинение, деленное на начальную длину:
\[\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\]
Сначала вычислим площадь поперечного сечения \(S\):
\[S = \frac{\pi \cdot (0,0086 \text{ м})^2}{4}\]
\[S = \frac{3,14159 \cdot 0,00007396}{4}\]
\[S = \frac{0,0002323}{4}\]
\[S \approx 0,000058075 \text{ м}^2\]
Теперь вычислим механическое напряжение \(\sigma\):
\[\sigma = \frac{12,4 \text{ Н}}{0,000058075 \text{ м}^2}\]
\[\sigma \approx 213520 \text{ Па}\]
Далее вычислим относительное удлинение \(\varepsilon\):
\[\varepsilon = \frac{0,0033 \text{ м}}{0,16 \text{ м}}\]
\[\varepsilon \approx 0,020625\]
Наконец, вычислим модуль упругости \(E\):
\[E = \frac{213520 \text{ Па}}{0,020625}\]
\[E \approx 10352909 \text{ Па}\]
Можно округлить до \(1,04 \cdot 10^7 \text{ Па}\) или \(10,4 \text{ МПа}\).
Ответ:
Модуль упругости этого сухожилия составляет примерно \(1,04 \cdot 10^7 \text{ Па}\) (или \(10,4 \text{ МПа}\)).
Задача 5
При атеросклерозе, вследствие образования бляшек на стенках сосуда, критическое значение числа Рейнольдса может снизиться до 1160. Определить для этого случая скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм. Плотность крови равна \(\rho = 1050 \text{ кг/м}^3\), вязкость крови равна \(\eta = 5 \cdot 10^{-3} \text{ Па} \cdot \text{с}\).
Дано:
Критическое число Рейнольдса \(Re_{кр} = 1160\)
Диаметр сосуда \(d = 2,5 \text{ мм} = 0,0025 \text{ м}\)
Плотность крови \(\rho = 1050 \text{ кг/м}^3\)
Вязкость крови \(\eta = 5 \cdot 10^{-3} \text{ Па} \cdot \text{с}\)
Найти:
Скорость крови \(v\)
Решение:
Число Рейнольдса (Re) определяется по формуле:
\[Re = \frac{\rho \cdot v \cdot d}{\eta}\]
Из этой формулы выразим скорость \(v\):
\[v = \frac{Re \cdot \eta}{\rho \cdot d}\]
Подставим известные значения:
\[v = \frac{1160 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ Па} \cdot \text{с}}{1050 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,0025 \text{ м}}\]
\[v = \frac{1160 \cdot 0,005}{1050 \cdot 0,0025}\]
\[v = \frac{5,8}{2,625}\]
\[v \approx 2,2095 \text{ м/с}\]
Ответ:
Скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное, составляет примерно \(2,21 \text{ м/с}\).
Задача 6
Каков уровень интенсивности звука с частотой 100 Гц, который имеет ту же громкость, что и звук с частотой 3 кГц и интенсивностью 25 дБ?
Дано:
Для первого звука:
Частота \(f_1 = 100 \text{ Гц}\)
Уровень громкости \(L_{F1}\)
Для второго звука:
Частота \(f_2 = 3 \text{ кГц} = 3000 \text{ Гц}\)
Уровень интенсивности (уровень звукового давления) \(L_{B2} = 25 \text{ дБ}\)
Найти:
Уровень интенсивности (уровень звукового давления) \(L_{B1}\) для первого звука.
Решение:
Задача требует использования кривых равной громкости (изофон), так как человеческое ухо воспринимает звуки разной частоты с разной чувствительностью. Уровень громкости в фонах определяется по изофонам.
1. Определим уровень громкости \(L_{F2}\) для второго звука (3000 Гц, 25 дБ).
По стандартным изофонам (например, кривым Флетчера-Мэнсона или ISO 226:2003), для частоты 3000 Гц и уровня звукового давления 25 дБ, уровень громкости \(L_{F2}\) будет примерно равен 25-26 фон. Для упрощения, если нет точных таблиц изофон, можно принять, что для частот около 1000-4000 Гц уровень громкости в фонах примерно равен уровню звукового давления в децибелах.
Примем \(L_{F2} \approx 25 \text{ фон}\).
2. По условию, первый звук имеет ту же громкость, что и второй, то есть \(L_{F1} = L_{F2} = 25 \text{ фон}\).
3. Теперь нам нужно найти уровень интенсивности (уровень звукового давления) \(L_{B1}\) для звука с частотой 100 Гц, который имеет громкость 25 фон.
Снова обратимся к изофонам. Для частоты 100 Гц и уровня громкости 25 фон, уровень звукового давления \(L_{B1}\) будет значительно выше, чем 25 дБ, потому что человеческое ухо менее чувствительно к низким частотам.
По изофонам:
* Для 20 фон на 100 Гц требуется около 30 дБ.
* Для 30 фон на 100 Гц требуется около 40 дБ.
* Для 25 фон на 100 Гц, это будет примерно посередине между 30 дБ и 40 дБ, но ближе к 30 дБ.
Если использовать более точные данные изофон (например, ISO 226:2003), то для 25 фон на частоте 100 Гц, уровень звукового давления \(L_{B1}\) будет примерно 35-36 дБ.
В школьных задачах, если не даны таблицы изофон, иногда допускается упрощение, что 1 фон = 1 дБ. Но в данном случае, с разными частотами, это упрощение приведет к неверному ответу.
Предположим, что в контексте школьной задачи ожидается использование упрощенных изофон или приближенных значений. Если нет доступа к точным изофонам, можно использовать приближение:
Для 100 Гц, чтобы получить 25 фон, требуется уровень звукового давления около 35-36 дБ.
Давайте возьмем значение \(L_{B1} \approx 35 \text{ дБ}\) как приближенное.
Если бы задача подразумевала, что "интенсивность 25 дБ" означает уровень интенсивности, а не уровень звукового давления, то это было бы некорректно, так как интенсивность измеряется в Вт/м2, а дБ - это логарифмическая шкала для отношения интенсивностей или давлений. Предполагаем, что "интенсивность 25 дБ" означает "уровень интенсивности 25 дБ" или "уровень звукового давления 25 дБ". В контексте громкости чаще используется уровень звукового давления.
Итак, если \(L_{B2} = 25 \text{ дБ}\) при \(f_2 = 3000 \text{ Гц}\), то по изофонам это соответствует примерно 25 фон.
Тогда для \(f_1 = 100 \text{ Гц}\) и \(L_{F1} = 25 \text{ фон}\), по изофонам это соответствует примерно 35-36 дБ.
Ответ:
Уровень интенсивности (уровень звукового давления) звука с частотой 100 Гц, который имеет ту же громкость, что и звук с частотой 3 кГц и уровнем интенсивности 25 дБ, составляет примерно 35-36 дБ. (Точное значение зависит от используемых изофон).
