Задача №301: Расчет напряженности электрического поля

Задача №301 Дано: \(q_1 = q_2 = q = 1,0 \cdot 10^{-7}\) Кл \(l = 8,0\) см \(= 0,08\) м \(r = 5,0\) см \(= 0,05\) м \(k = 9 \cdot 10^9\) Н·м\(^2\)/Кл\(^2\) Найти: а) \(E_O\) — ? б) \(E_A\) — ? Решение: а) Точка О находится на середине отрезка между зарядами. Напряженность поля, создаваемого каждым зарядом, определяется формулой: \[E = k \frac{q}{r^2}\] Так как заряды одинаковы по величине и знаку, векторы напряженности \(\vec{E_1}\) и \(\vec{E_2}\) в точке О направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. Следовательно, результирующая напряженность в точке О равна разности модулей: \[E_O = |E_1 - E_2|\] Поскольку расстояния от зарядов до центра одинаковы (\(r_O = l/2\)) и заряды равны, то \(E_1 = E_2\). \[E_O = 0\] б) Точка А находится на расстоянии \(r = 5,0\) см от каждого заряда. Заряды и точка А образуют равнобедренный треугольник. Напряженность поля от каждого заряда в точке А: \[E_1 = E_2 = k \frac{q}{r^2}\] \[E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1,0 \cdot 10^{-7}}{(0,05)^2} = \frac{900}{0,0025} = 3,6 \cdot 10^5 \text{ В/м}\] Согласно принципу суперпозиции, результирующий вектор \(\vec{E_A} = \vec{E_1} + \vec{E_2}\). Из геометрии системы (равнобедренный треугольник) следует, что вектор \(E_A\) направлен вдоль биссектрисы угла при вершине А. Пусть \(h\) — высота треугольника, опущенная на основание \(l\). По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{r^2 - (l/2)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}\] Косинус угла \(\alpha\) между вектором \(E_1\) и высотой \(h\): \[\cos \alpha = \frac{h}{r} = \frac{3}{5} = 0,6\] Проекция результирующего вектора на ось симметрии: \[E_A = 2 \cdot E_1 \cdot \cos \alpha\] \[E_A = 2 \cdot 3,6 \cdot 10^5 \cdot 0,6 = 4,32 \cdot 10^5 \text{ В/м}\] Ответ: а) \(E_O = 0\); б) \(E_A = 4,32 \cdot 10^5\) В/м.