Решение задачи: sin x = 12/13, найти cos x (1 вариант)

Контрольная работа «Основы тригонометрии. Тригонометрические функции». 1 вариант. Задание 1. Найти \( \cos x \), если \( \sin x = \frac{12}{13} \), \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \). Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Отсюда: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] \[ \cos^2 x = 1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \] Так как \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) (первая четверть), то \( \cos x > 0 \). \[ \cos x = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \] Ответ: \( \frac{5}{13} \). Задание 2. Докажите тождество \( 1 + \text{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} \). Доказательство: Преобразуем левую часть выражения. Вспомним, что \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). \[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha} \] Так как \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем: \[ \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} \] Левая часть равна правой. Тождество доказано. Задание 3. Найдите корни уравнения \( (\sin x + 1)^2 = \sin^2 x + 1 \). Решение: Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы: \[ \sin^2 x + 2\sin x + 1 = \sin^2 x + 1 \] Перенесем все слагаемые в одну сторону: \[ \sin^2 x + 2\sin x + 1 - \sin^2 x - 1 = 0 \] \[ 2\sin x = 0 \] \[ \sin x = 0 \] \[ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Задание 4. Решите уравнение \( 2\sin^2 x + 7\cos x + 2 = 0 \). Решение: Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \): \[ 2(1 - \cos^2 x) + 7\cos x + 2 = 0 \] \[ 2 - 2\cos^2 x + 7\cos x + 2 = 0 \] \[ -2\cos^2 x + 7\cos x + 4 = 0 \] Умножим на -1: \[ 2\cos^2 x - 7\cos x - 4 = 0 \] Пусть \( \cos x = t \), где \( |t| \le 1 \). \[ 2t^2 - 7t - 4 = 0 \] \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \] \[ t_1 = \frac{7 + 9}{4} = 4 \text{ (не подходит, так как } 4 > 1) \] \[ t_2 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5 \] Обратная замена: \[ \cos x = -0,5 \] \[ x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). Задание 5. Постройте график функции \( y = 2\cos x \) и перечислите её свойства. Свойства функции \( y = 2\cos x \): 1. Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \) (все действительные числа). 2. Множество значений: \( E(y) = [-2; 2] \). 3. Функция периодическая с главным периодом \( T = 2\pi \). 4. Функция четная: \( y(-x) = 2\cos(-x) = 2\cos x = y(x) \). График симметричен относительно оси OY. 5. Нули функции: \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). 6. Максимальное значение \( y = 2 \) при \( x = 2\pi n \), минимальное значение \( y = -2 \) при \( x = \pi + 2\pi n \). Для построения графика в тетради: возьмите обычный график косинуса и "растяните" его вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда станет равна 2). Проходит через точки (0; 2), (\( \pi/2 \); 0), (\( \pi \); -2).