Задача 141: Найти косинус угла ABC (решение)

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задача 141. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = 8 \), \( BC = 10 \), \( AC = 12 \). Найти: \( \cos \angle ABC \). Решение: Для решения воспользуемся теоремой косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны \( AC \) и угла \( B \) (который и есть \( \angle ABC \)) формула выглядит так: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \] Выразим косинус угла: \[ \cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] Подставим известные значения: \[ \cos \angle ABC = \frac{8^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} \] \[ \cos \angle ABC = \frac{64 + 100 - 144}{160} \] \[ \cos \angle ABC = \frac{164 - 144}{160} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8} = 0,125 \] Ответ: 0,125. Задача 133. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), \( BC = 4\sqrt{6} \). Найти: \( AC \). Решение: Воспользуемся теоремой синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Отсюда выразим \( AC \): \[ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \] Подставим значения: \[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \] Вспомним значения тригонометрических функций: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{18}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{\frac{18}{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 \] Ответ: 12. Задача 102. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle B = 63^\circ \), \( \angle C = 87^\circ \), \( R = 11 \) (радиус описанной окружности). Найти: \( BC \). Решение: 1. Сначала найдем величину третьего угла треугольника — угла \( A \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \[ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (63^\circ + 87^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 2. Воспользуемся расширенной теоремой синусов: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности. \[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \] Отсюда: \[ BC = 2R \cdot \sin A \] Подставим значения: \[ BC = 2 \cdot 11 \cdot \sin 30^\circ \] Так как \( \sin 30^\circ = 0,5 \): \[ BC = 22 \cdot 0,5 = 11 \] Ответ: 11.