Решение задач из таблицы 9.6 «Решение треугольников»

Ниже представлено решение первых трех задач из таблицы 9.6 «Решение треугольников» в виде, удобном для оформления в школьной тетради. Задача №1 Дано: Треугольник ABC, \( AB = 6 \), \( BC = 3\sqrt{2} \), \( \angle B = 45^\circ \). Найти: \( x \) (сторона AC). Решение: Воспользуемся теоремой косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] Подставим значения: \[ x^2 = 6^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ \] \[ x^2 = 36 + 18 - 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x^2 = 54 - 36 \cdot 1 \] \[ x^2 = 18 \] \[ x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Ответ: \( 3\sqrt{2} \). Задача №2 Дано: Треугольник ABC, \( AC = 4 \), \( BC = 3 \), внешний угол при вершине C равен \( 60^\circ \). Найти: \( x \) (сторона AB). Решение: 1) Найдем внутренний угол \( \angle ACB \). Так как он смежный с внешним углом: \[ \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] 2) По теореме косинусов для стороны AB: \[ x^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 120^\circ \] Учитывая, что \( \cos 120^\circ = -1/2 \): \[ x^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ x^2 = 16 + 9 + 12 \] \[ x^2 = 37 \] \[ x = \sqrt{37} \] Ответ: \( \sqrt{37} \). Задача №3 Дано: Треугольник ABC, \( BC = \sqrt{2} \), \( \angle A = 135^\circ \), \( \angle B = 15^\circ \). Найти: \( x \) (сторона AB). Решение: 1) Найдем третий угол треугольника \( \angle C \): \[ \angle C = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 2) Воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] \[ \frac{x}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} \] Так как \( \sin 30^\circ = 1/2 \) и \( \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \sqrt{2}/2 \): \[ \frac{x}{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1.