Решение задач: Теорема косинусов для треугольников

Ниже представлено решение задач из таблицы 9.6 «Решение треугольников» для первых трех чертежей. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: Треугольник \(ABC\), \(AB = 6\), \(BC = 3\sqrt{2}\), \(\angle B = 45^\circ\). Найти: \(AC = x\). Решение: Воспользуемся теоремой косинусов: \[x^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\] Подставим значения: \[x^2 = 6^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ\] \[x^2 = 36 + 18 - 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[x^2 = 54 - 36 \cdot 1\] \[x^2 = 18\] \[x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] Ответ: \(x = 3\sqrt{2}\). Задача 2 Дано: Треугольник \(ABC\), \(AC = 4\), \(BC = 3\). Внешний угол при вершине \(C\) равен \(60^\circ\). Найти: \(AB = x\). Решение: 1. Найдем внутренний угол \(C\). Так как сумма смежных углов равна \(180^\circ\): \[\angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] 2. Воспользуемся теоремой косинусов для стороны \(x\): \[x^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\] Учитывая, что \(\cos 120^\circ = -1/2\): \[x^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[x^2 = 16 + 9 + 12\] \[x^2 = 37\] \[x = \sqrt{37}\] Ответ: \(x = \sqrt{37}\). Задача 3 Дано: Треугольник \(ABC\), \(BC = \sqrt{2}\), \(\angle A = 135^\circ\), \(\angle B = 15^\circ\). Найти: \(AB = x\). Решение: 1. Найдем третий угол треугольника \(\angle C\): \[\angle C = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] 2. Воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{x}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\] \[\frac{x}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 135^\circ}\] Подставим значения синусов (\(\sin 30^\circ = 1/2\), \(\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \sqrt{2}/2\)): \[\frac{x}{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}\] \[2x = 2\] \[x = 1\] Ответ: \(x = 1\).