Определение расходящегося числового ряда

Для того чтобы определить, какой из числовых рядов расходится, необходимо проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда. Необходимый признак сходимости гласит: если ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится, то предел его общего члена при \(n \to \infty\) должен быть равен нулю: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] Если же предел общего члена не равен нулю или не существует, то ряд расходится. Рассмотрим предложенные варианты: 1) Первый ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n-1)^3} \] Проверим предел общего члена: \[ \lim_{n \to \infty} \left| (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n-1)^3} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n-1)^3} = 0 \] Этот ряд удовлетворяет необходимому признаку и сходится по признаку Лейбница. 2) Второй ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{2n-1} \] Проверим предел общего члена: \[ \lim_{n \to \infty} \left| (-1)^{n+1} \frac{1}{2n-1} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n-1} = 0 \] Этот ряд также удовлетворяет необходимому признаку и сходится по признаку Лейбница (хотя и условно). 3) Третий ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{\ln(n+1)} \] Проверим предел общего члена: \[ \lim_{n \to \infty} \left| (-1)^{n+1} \frac{n}{\ln(n+1)} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln(n+1)} \] Так как числитель растет быстрее логарифма (по правилу Лопиталя или исходя из порядков роста функций), предел равен бесконечности: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln(n+1)} = \infty \neq 0 \] Так как предел общего члена не равен нулю, данный ряд расходится. Ответ: Расходится третий ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{\ln(n+1)} \]