Решение задач по геометрии: векторы (задачи №2, №3)

Ниже представлено решение заданий из контрольной работы по геометрии (1 вариант), оформленное для записи в тетрадь. №2. Упростить выражения. Для решения используем правило сложения векторов: \(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\). а) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) б) \(\vec{AB} + \vec{BE} + \vec{EK} = (\vec{AB} + \vec{BE}) + \vec{EK} = \vec{AE} + \vec{EK} = \vec{AK}\) в) \(\vec{AP} + \vec{MB} + \vec{PM} + \vec{BE} = (\vec{AP} + \vec{PM}) + (\vec{MB} + \vec{BE}) = \vec{AM} + \vec{ME} = \vec{AE}\) г) \(\vec{PQ} + \vec{EF} + \vec{AE} + \vec{FK} + \vec{QA} = (\vec{PQ} + \vec{QA}) + (\vec{AE} + \vec{EF}) + \vec{FK} = \vec{PA} + \vec{AF} + \vec{FK} = \vec{PF} + \vec{FK} = \vec{PK}\) №3. В параллелограмме \(ABCD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. а) Упростите: \(\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}\) В параллелограмме \(\vec{BA} = \vec{CD}\) и \(\vec{CB} = \vec{DA}\). Также вспомним, что \(-\vec{XY} = \vec{YX}\). \[\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{CD} - \vec{OB} = \vec{CB} - \vec{OB} = \vec{CB} + \vec{BO} = \vec{CO}\] Ответ: \(\vec{CO}\). б) Найдите \(|\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}|\), если \(AD = 8\), \(CD = 6\), а перпендикуляр \(DH\), опущенный из вершины \(D\) на диагональ \(AC\), равен \(4\). Из пункта (а) мы знаем, что искомое выражение равно длине вектора \(\vec{CO}\). Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то \(CO = \frac{1}{2} AC\). 1. Рассмотрим треугольник \(ADC\). В нем \(AD = 8\), \(CD = 6\). 2. Найдем площадь треугольника \(ADC\) двумя способами. С одной стороны, \(S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle D)\). С другой стороны, \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH\). Однако, нам не дан угол. Воспользуемся тем, что \(DH\) — высота к \(AC\). 3. В треугольнике \(CDH\) (прямоугольном): \[CH = \sqrt{CD^2 - DH^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] 4. В треугольнике \(ADH\) (прямоугольном): \[AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\] 5. Тогда вся диагональ \(AC = AH + CH = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\) (если \(H\) лежит внутри отрезка). 6. Искомый модуль: \[|\vec{CO}| = CO = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{3} + \sqrt{5}\] Ответ: \(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\). Примечание к №1 (построение): В тетради при сложении векторов: - Правило треугольника: прикладываем начало второго вектора к концу первого, результат — вектор из начала первого в конец второго. - Правило параллелограмма: прикладываем векторы к общему началу, достраиваем до параллелограмма, результат — диагональ из общего начала. - Разность \(\vec{b} - \vec{c}\): прикладываем к общему началу, результат — вектор из конца вычитаемого (\(\vec{c}\)) в конец уменьшаемого (\(\vec{b}\)).