Решение задачи на абсолютную сходимость ряда

Для того чтобы определить, какие из рядов сходятся абсолютно, необходимо рассмотреть ряды, составленные из модулей их членов, и проверить их на сходимость. 1. Рассмотрим первый ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{\ln(n+1)} \] Ряд из модулей имеет вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} \] Так как для всех \( n \geq 1 \) справедливо неравенство \( \ln(n+1) < n+1 \), то \( \frac{1}{\ln(n+1)} > \frac{1}{n+1} \). Ряд \( \sum \frac{1}{n+1} \) расходится (это гармонический ряд без первого члена). Следовательно, по признаку сравнения, ряд из модулей расходится. Данный ряд сходится только условно (по признаку Лейбница), но не абсолютно. 2. Рассмотрим второй ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n - \ln n)} \] Ряд из модулей имеет вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - n \ln n} \] При больших \( n \) общее выражение ведет себя как \( \frac{1}{n^2} \). Сравним его с эталонным сходящимся рядом \( \sum \frac{1}{n^2} \) (обобщенный гармонический ряд с \( p=2 > 1 \)): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2 - n \ln n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2(1 - \frac{\ln n}{n})} = 1 \] Так как предел конечен и отличен от нуля, а эталонный ряд сходится, то и ряд из модулей сходится. Значит, этот ряд сходится абсолютно. 3. Рассмотрим третий ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n \cdot 3^n} \] Ряд из модулей имеет вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^n} \] Применим признак Даламбера: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot 3^n}{(n+1) \cdot 3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3(n+1)} = \frac{1}{3} \] Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), ряд из модулей сходится. Значит, этот ряд также сходится абсолютно. Ответ: Абсолютно сходятся второй и третий ряды.