Задача 3.
Дано уравнение сложного колебания: \[f(t) = 2 + 0.19t + 0.6\sin(t) - 0.2\cos(2t) - 0.3\cos(3t) - 0.9\cos(6t) + 0.7\cos(7t)\] Нарисуйте амплитудный спектр этого сложного колебания.Решение:
Амплитудный спектр показывает зависимость амплитуды каждой гармонической составляющей от её частоты. В данном уравнении у нас есть несколько составляющих: 1. Постоянная составляющая: \(2\) (это смещение, или нулевая частота). 2. Линейно возрастающая составляющая: \(0.19t\). Эта составляющая не является гармонической и не будет отображаться в амплитудном спектре как отдельная частота. Она указывает на то, что колебание со временем смещается. 3. Гармонические составляющие: * \(0.6\sin(t)\) — амплитуда \(A_1 = 0.6\), частота \(\omega_1 = 1\) рад/с. * \(-0.2\cos(2t)\) — амплитуда \(A_2 = 0.2\), частота \(\omega_2 = 2\) рад/с. Знак минус указывает на фазу, но для амплитудного спектра важна только абсолютная величина амплитуды. * \(-0.3\cos(3t)\) — амплитуда \(A_3 = 0.3\), частота \(\omega_3 = 3\) рад/с. * \(-0.9\cos(6t)\) — амплитуда \(A_4 = 0.9\), частота \(\omega_4 = 6\) рад/с. * \(+0.7\cos(7t)\) — амплитуда \(A_5 = 0.7\), частота \(\omega_5 = 7\) рад/с.Для построения амплитудного спектра мы откладываем по горизонтальной оси частоты (\(\omega\)), а по вертикальной оси — соответствующие им амплитуды.
Амплитуды и частоты:
* При \(\omega = 0\) (постоянная составляющая): амплитуда \(A_0 = 2\). * При \(\omega = 1\) рад/с: амплитуда \(A_1 = 0.6\). * При \(\omega = 2\) рад/с: амплитуда \(A_2 = 0.2\). * При \(\omega = 3\) рад/с: амплитуда \(A_3 = 0.3\). * При \(\omega = 6\) рад/с: амплитуда \(A_4 = 0.9\). * При \(\omega = 7\) рад/с: амплитуда \(A_5 = 0.7\).Построение амплитудного спектра:
Нарисуем график, где по оси X будут частоты, а по оси Y — амплитуды. Каждая гармоническая составляющая будет представлена вертикальной линией (столбиком) на соответствующей частоте, высота которой равна её амплитуде.(Здесь должен быть рисунок. Поскольку я не могу рисовать, я опишу, как он должен выглядеть.)
Представьте координатную плоскость: * Горизонтальная ось (X) — Частота \(\omega\) (рад/с). * Вертикальная ось (Y) — Амплитуда \(A\).
На этой плоскости будут вертикальные линии: * На \(\omega = 0\): линия высотой \(2\). * На \(\omega = 1\): линия высотой \(0.6\). * На \(\omega = 2\): линия высотой \(0.2\). * На \(\omega = 3\): линия высотой \(0.3\). * На \(\omega = 6\): линия высотой \(0.9\). * На \(\omega = 7\): линия высотой \(0.7\).
Это и будет амплитудный спектр данного сложного колебания.
Задача 4.
Сухожилие длиной 16 см под действием силы 12,4 Н удлиняется на 3,3 мм. Сухожилие можно считать круглым в сечении с диаметром 8,6 мм. Рассчитать модуль упругости этого сухожилия.Дано:
* Длина сухожилия \(L_0 = 16\) см \( = 0.16\) м * Сила \(F = 12.4\) Н * Удлинение \(\Delta L = 3.3\) мм \( = 0.0033\) м * Диаметр сухожилия \(d = 8.6\) мм \( = 0.0086\) мНайти:
* Модуль упругости (модуль Юнга) \(E\)Решение:
Модуль упругости (модуль Юнга) \(E\) определяется по формуле: \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\] где \(\sigma\) — механическое напряжение, а \(\varepsilon\) — относительное удлинение.1. Рассчитаем площадь поперечного сечения сухожилия \(S\). Поскольку сухожилие круглое, площадь: \[S = \frac{\pi d^2}{4}\] \[S = \frac{3.14 \cdot (0.0086 \text{ м})^2}{4} = \frac{3.14 \cdot 0.00007396 \text{ м}^2}{4} \approx 0.00005805 \text{ м}^2\]
2. Рассчитаем механическое напряжение \(\sigma\): \[\sigma = \frac{F}{S}\] \[\sigma = \frac{12.4 \text{ Н}}{0.00005805 \text{ м}^2} \approx 213610.68 \text{ Па}\]
3. Рассчитаем относительное удлинение \(\varepsilon\): \[\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\] \[\varepsilon = \frac{0.0033 \text{ м}}{0.16 \text{ м}} \approx 0.020625\]
4. Рассчитаем модуль упругости \(E\): \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\] \[E = \frac{213610.68 \text{ Па}}{0.020625} \approx 10356872.7 \text{ Па}\]
Округлим до более удобного значения, например, до мегапаскалей (МПа): \(1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}\) \[E \approx 10.36 \cdot 10^6 \text{ Па} = 10.36 \text{ МПа}\]
Ответ:
Модуль упругости сухожилия составляет примерно \(10.36 \text{ МПа}\).Задача 5.
При атеросклерозе, вследствие образования бляшек на стенках сосуда, критическое значение числа Рейнольдса может снизиться до 1160. Определить для этого случая скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм. Плотность крови равна \(\rho = 1050\) кг/м\(^3\), вязкость крови равна \(\eta = 5 \cdot 10^{-3}\) Па с.Дано:
* Критическое число Рейнольдса \(Re_{кр} = 1160\) * Диаметр сосуда \(d = 2.5\) мм \( = 0.0025\) м * Плотность крови \(\rho = 1050\) кг/м\(^3\) * Вязкость крови \(\eta = 5 \cdot 10^{-3}\) Па сНайти:
* Критическая скорость \(v_{кр}\)Решение:
Число Рейнольдса \(Re\) определяется по формуле: \[Re = \frac{\rho v d}{\eta}\] где \(\rho\) — плотность жидкости, \(v\) — скорость течения, \(d\) — характерный размер (для трубы — диаметр), \(\eta\) — динамическая вязкость жидкости.Нам нужно найти критическую скорость \(v_{кр}\), при которой число Рейнольдса достигает критического значения \(Re_{кр}\). Выразим \(v\) из формулы: \[v = \frac{Re \cdot \eta}{\rho \cdot d}\]
Подставим известные значения: \[v_{кр} = \frac{1160 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ Па с}}{1050 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.0025 \text{ м}}\] \[v_{кр} = \frac{5.8 \text{ Па с}}{2.625 \text{ кг/(м}^2 \text{ с)}}\] \[v_{кр} \approx 2.2095 \text{ м/с}\]
Ответ:
Критическая скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное, составляет примерно \(2.21\) м/с.Задача 6.
Каков уровень интенсивности звука с частотой 100 Гц, который имеет ту же громкость, что и звук с частотой 3 кГц и интенсивностью 25 дБ?Решение:
Эта задача требует использования кривых равной громкости (изофон), которые показывают, как воспринимаемая громкость звука зависит от его частоты и уровня интенсивности. Уровень интенсивности звука измеряется в децибелах (дБ). Громкость измеряется в фонах.1. Определим громкость звука с частотой 3 кГц и интенсивностью 25 дБ. По определению, уровень интенсивности звука в децибелах \(L\) связан с интенсивностью \(I\) формулой: \[L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\] где \(I_0 = 10^{-12}\) Вт/м\(^2\) — порог слышимости на частоте 1000 Гц. Однако, для определения громкости в фонах, нам не нужно пересчитывать интенсивность в Вт/м\(^2\). По определению, громкость звука в фонах равна уровню интенсивности в децибелах звука с частотой 1000 Гц, который воспринимается как равногромкий. Для частоты 3 кГц (3000 Гц) и уровня интенсивности 25 дБ, нам нужно найти соответствующую громкость в фонах, используя кривые равной громкости. Эти кривые показывают, что на частоте 1000 Гц уровень интенсивности в дБ численно равен громкости в фонах. На других частотах это не так. Если у нас нет таблицы или графика кривых равной громкости (например, кривых Флетчера-Мэнсона или ISO 226:2003), то точное решение этой задачи без них невозможно. Однако, если предполагается, что на частоте 3 кГц восприятие громкости близко к 1000 Гц, то можно было бы предположить, что 25 дБ на 3 кГц соответствует примерно 25 фонам. Но это не совсем точно. Давайте предположим, что задача подразумевает использование стандартных кривых равной громкости. По кривым равной громкости (например, ISO 226:2003), для частоты 3000 Гц и уровня интенсивности 25 дБ, громкость будет примерно 25 фон. (На частоте 3 кГц человеческое ухо более чувствительно, чем на 1 кГц, поэтому 25 дБ на 3 кГц будет восприниматься как немного более громкий звук, чем 25 дБ на 1 кГц. Но для простоты, если нет точных данных, можно принять, что это примерно 25 фон). Давайте возьмем стандартное приближение: если не указано иное, то уровень интенсивности в дБ на частоте 1000 Гц равен громкости в фонах. Для других частот нужно использовать изофоны. Посмотрим на кривые равной громкости. На частоте 3 кГц, чтобы получить громкость 25 фон, уровень интенсивности должен быть немного ниже 25 дБ (поскольку ухо более чувствительно на этой частоте). Если же нам дано 25 дБ на 3 кГц, то это будет соответствовать громкости, которая немного выше 25 фон. Для школьного уровня, если нет доступа к изофонам, часто предполагается, что на частотах от 1 кГц до 4 кГц, уровень интенсивности в дБ примерно равен громкости в фонах. Поэтому, давайте примем, что громкость звука с частотой 3 кГц и интенсивностью 25 дБ составляет примерно 25 фон.
2. Теперь нам нужно найти уровень интенсивности звука с частотой 100 Гц, который имеет ту же громкость (25 фон). Снова обратимся к кривым равной громкости. На частоте 100 Гц человеческое ухо гораздо менее чувствительно, чем на 1000 Гц или 3000 Гц. Чтобы звук на 100 Гц воспринимался с той же громкостью, что и 25 фон, его уровень интенсивности в дБ должен быть значительно выше. По стандартным кривым равной громкости (например, ISO 226:2003): * Чтобы получить громкость 20 фон на 100 Гц, требуется уровень интенсивности около 40 дБ. * Чтобы получить громкость 30 фон на 100 Гц, требуется уровень интенсивности около 45 дБ. Интерполируя между этими значениями, для 25 фон на 100 Гц, уровень интенсивности будет примерно 42-43 дБ. Если использовать более старые кривые Флетчера-Мэнсона, то для 25 фон на 100 Гц, уровень интенсивности будет около 40-45 дБ. Без точного графика или таблицы кривых равной громкости, дать абсолютно точный ответ невозможно. Однако, можно дать приблизительную оценку. Давайте возьмем значение из типичных кривых равной громкости. Для громкости 25 фон: * На 1000 Гц: 25 дБ * На 3000 Гц: примерно 23-24 дБ (чтобы получить 25 фон) * На 100 Гц: примерно 42-43 дБ (чтобы получить 25 фон) Поскольку в задаче сказано, что звук на 3 кГц имеет интенсивность 25 дБ, и мы хотим найти звук на 100 Гц с *той же громкостью*, то сначала нужно определить, сколько фон соответствует 25 дБ на 3 кГц. По кривым ISO 226:2003, 25 дБ на 3 кГц соответствует примерно 27-28 фон. Теперь, если мы ищем уровень интенсивности на 100 Гц, который соответствует 27-28 фон: * Для 20 фон на 100 Гц: ~40 дБ * Для 30 фон на 100 Гц: ~45 дБ * Для 27-28 фон на 100 Гц: это будет примерно 43-44 дБ. Если же задача упрощена и подразумевает, что 25 дБ на 3 кГц = 25 фон, то тогда на 100 Гц для 25 фон потребуется около 42-43 дБ. Для школьника, без доступа к изофонам, обычно ожидается, что он понимает принцип и может дать приблизительную оценку, или же задача должна сопровождаться графиком. Если нет графика, то ответ будет приблизительным. Давайте возьмем среднее значение из типичных кривых. Громкость 25 дБ на 3 кГц соответствует примерно 27 фон. Чтобы получить 27 фон на 100 Гц, уровень интенсивности должен быть около 43 дБ.