Решение степенного ряда Σ (ln(n+1)/(n+1)) * x^(n+1)

Решение задачи: Дано: степенной ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n+1} x^{n+1} \] Для нахождения радиуса сходимости \( R \) воспользуемся признаком Даламбера. Пусть общий член ряда (без учета \( x \)) равен: \[ a_n = \frac{\ln(n+1)}{n+1} \] Заметим, что в данном ряду показатель степени \( x \) равен \( n+1 \). Обозначим \( k = n+1 \), тогда ряд примет вид \( \sum \frac{\ln k}{k} x^k \). Коэффициенты ряда \( c_k = \frac{\ln k}{k} \). Радиус сходимости \( R \) находится по формуле: \[ R = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_k}{c_{k+1}} \right| \] Подставим наши значения: \[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n+1} \cdot \frac{n+2}{\ln(n+2)} \] Перегруппируем множители: \[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)} \] 1. Первый предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 \] 2. Второй предел (используем правило Лопиталя или свойства логарифмов): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{\ln(x+2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x+2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+2}{x+1} = 1 \] Следовательно: \[ R = 1 \cdot 1 = 1 \] Ответ: 1