Вычисление f^(5)(0) с помощью Ряда Тейлора

Задание: Пользуясь разложением функции \( f(x) = x \cos x^2 \) в ряд Тейлора, вычислить \( f^{(5)}(0) \). Решение: 1. Вспомним стандартное разложение функции \( \cos t \) в ряд Маклорена (ряд Тейлора в окрестности нуля): \[ \cos t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \dots \] 2. Сделаем замену \( t = x^2 \), чтобы получить разложение для \( \cos x^2 \): \[ \cos x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x^2)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{(2n)!} \] 3. Теперь умножим полученный ряд на \( x \), чтобы найти разложение исходной функции \( f(x) = x \cos x^2 \): \[ f(x) = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+1}}{(2n)!} \] 4. Выпишем первые несколько членов этого ряда: При \( n=0 \): \( \frac{(-1)^0 x^{0+1}}{0!} = x \) При \( n=1 \): \( \frac{(-1)^1 x^{4+1}}{2!} = -\frac{x^5}{2} \) Таким образом: \[ f(x) = x - \frac{x^5}{2} + \frac{x^9}{24} - \dots \] 5. По определению ряда Тейлора, коэффициент при \( x^k \) равен \( \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \). Нам нужно найти производную пятого порядка \( f^{(5)}(0) \), значит, нас интересует коэффициент при \( x^5 \). Из нашего разложения видно, что коэффициент при \( x^5 \) равен \( -\frac{1}{2} \). 6. Составим уравнение: \[ \frac{f^{(5)}(0)}{5!} = -\frac{1}{2} \] 7. Вычислим значение \( f^{(5)}(0) \): \[ f^{(5)}(0) = -\frac{1}{2} \cdot 5! \] Так как \( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \), получаем: \[ f^{(5)}(0) = -\frac{120}{2} = -60 \] Ответ: -60