Амплитудный спектр сложного колебания: Решение задачи

Хорошо, давайте разберем задачи по порядку. Задача 3. Дано уравнение сложного колебания, изображенного на рисунке. \(f(t)=2+0.19t+0.6\sin(t)-0.2\cos(2t)-0.3\cos(3t)-0.9\cos(6t)+0.7\cos(7t)\) Нарисуйте амплитудный спектр этого сложного колебания. Решение: Амплитудный спектр показывает зависимость амплитуды каждой гармонической составляющей от её частоты. В данном уравнении у нас есть несколько составляющих: 1. Постоянная составляющая: \(2\) 2. Линейно возрастающая составляющая: \(0.19t\) (эта составляющая не является гармонической и не будет отображаться в амплитудном спектре как отдельная частота, она указывает на смещение или дрейф) 3. Гармонические составляющие: - \(0.6\sin(t)\) с амплитудой \(A_1 = 0.6\) и угловой частотой \(\omega_1 = 1\) - \(-0.2\cos(2t)\) с амплитудой \(A_2 = 0.2\) и угловой частотой \(\omega_2 = 2\) - \(-0.3\cos(3t)\) с амплитудой \(A_3 = 0.3\) и угловой частотой \(\omega_3 = 3\) - \(-0.9\cos(6t)\) с амплитудой \(A_4 = 0.9\) и угловой частотой \(\omega_4 = 6\) - \(+0.7\cos(7t)\) с амплитудой \(A_5 = 0.7\) и угловой частотой \(\omega_5 = 7\) Для построения амплитудного спектра нам нужны значения амплитуд и соответствующих им угловых частот. Постоянная составляющая (смещение) обычно не включается в амплитудный спектр, который показывает амплитуды гармоник. Линейно возрастающая составляющая \(0.19t\) также не является гармонической. Итак, у нас есть следующие гармонические составляющие: - Частота \(\omega = 1\): амплитуда \(A = 0.6\) - Частота \(\omega = 2\): амплитуда \(A = 0.2\) - Частота \(\omega = 3\): амплитуда \(A = 0.3\) - Частота \(\omega = 6\): амплитуда \(A = 0.9\) - Частота \(\omega = 7\): амплитуда \(A = 0.7\) Амплитудный спектр представляет собой график, где по горизонтальной оси откладываются угловые частоты \(\omega\), а по вертикальной оси - соответствующие им амплитуды \(A\). Это будет набор вертикальных линий (столбцов) на каждой частоте, высота которых равна амплитуде. Построение амплитудного спектра: Нарисуем оси координат. Горизонтальная ось - \(\omega\), вертикальная ось - \(A\). Отметим на горизонтальной оси значения частот: 1, 2, 3, 6, 7. Над каждой частотой нарисуем вертикальную линию (столбец) до соответствующей амплитуды. Примерный вид спектра: (Представьте график с осями) Ось X (\(\omega\)): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Ось Y (A): 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0 - На \(\omega = 1\), высота столбца до \(A = 0.6\) - На \(\omega = 2\), высота столбца до \(A = 0.2\) - На \(\omega = 3\), высота столбца до \(A = 0.3\) - На \(\omega = 6\), высота столбца до \(A = 0.9\) - На \(\omega = 7\), высота столбца до \(A = 0.7\) (На рисунке, который вы предоставили, уже есть пример графика сложного колебания, но для амплитудного спектра нужно построить именно столбчатую диаграмму.) Задача 4. Сухожилие длиной 16 см под действием силы 12,4 Н удлиняется на 3,3 мм. Сухожилие можно считать круглым в сечении с диаметром 8,6 мм. Рассчитать модуль упругости этого сухожилия. Дано: Длина сухожилия \(L_0 = 16\) см \( = 0.16\) м Сила \(F = 12.4\) Н Удлинение \(\Delta L = 3.3\) мм \( = 0.0033\) м Диаметр сухожилия \(d = 8.6\) мм \( = 0.0086\) м Найти: Модуль упругости (модуль Юнга) \(E\) Решение: Модуль упругости \(E\) определяется по формуле: \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\] где \(\sigma\) - механическое напряжение, \(\varepsilon\) - относительное удлинение. 1. Рассчитаем площадь поперечного сечения сухожилия \(S\). Сухожилие круглое, поэтому площадь сечения: \[S = \frac{\pi d^2}{4}\] \[S = \frac{3.14 \cdot (0.0086 \text{ м})^2}{4} = \frac{3.14 \cdot 0.00007396 \text{ м}^2}{4} \approx 0.00005805 \text{ м}^2\] 2. Рассчитаем механическое напряжение \(\sigma\). \[\sigma = \frac{F}{S}\] \[\sigma = \frac{12.4 \text{ Н}}{0.00005805 \text{ м}^2} \approx 213610.5 \text{ Па}\] 3. Рассчитаем относительное удлинение \(\varepsilon\). \[\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\] \[\varepsilon = \frac{0.0033 \text{ м}}{0.16 \text{ м}} \approx 0.020625\] 4. Рассчитаем модуль упругости \(E\). \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\] \[E = \frac{213610.5 \text{ Па}}{0.020625} \approx 10356878 \text{ Па}\] Можно округлить и записать в более удобном виде: \[E \approx 1.036 \cdot 10^7 \text{ Па}\] или \[E \approx 10.36 \text{ МПа}\] Ответ: Модуль упругости сухожилия составляет примерно \(1.036 \cdot 10^7\) Па (или \(10.36\) МПа). Задача 5. При атеросклерозе, вследствие образования бляшек на стенках сосуда, критическое значение числа Рейнольдса может снизиться до 1160. Определить для этого случая скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм. Плотность крови равна \(\rho = 1050\) кг/м\(^3\), вязкость крови равна \(\eta = 5 \cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с. Дано: Критическое число Рейнольдса \(Re_{кр} = 1160\) Диаметр сосуда \(d = 2.5\) мм \( = 0.0025\) м Плотность крови \(\rho = 1050\) кг/м\(^3\) Вязкость крови \(\eta = 5 \cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с Найти: Критическая скорость \(v_{кр}\) Решение: Число Рейнольдса \(Re\) определяется по формуле: \[Re = \frac{\rho \cdot v \cdot d}{\eta}\] где \(\rho\) - плотность жидкости, \(v\) - скорость потока, \(d\) - характерный размер (для трубы - диаметр), \(\eta\) - динамическая вязкость. Для перехода из ламинарного в турбулентное течение используется критическое число Рейнольдса. В нашем случае, нам нужно найти скорость \(v_{кр}\) при заданном \(Re_{кр}\). Выразим скорость из формулы: \[v_{кр} = \frac{Re_{кр} \cdot \eta}{\rho \cdot d}\] Подставим известные значения: \[v_{кр} = \frac{1160 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ Па}\cdot\text{с}}{1050 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.0025 \text{ м}}\] \[v_{кр} = \frac{5.8 \text{ кг/(м}\cdot\text{с)}}{2.625 \text{ кг/(м}^2\cdot\text{с)}}\] \[v_{кр} \approx 2.2095 \text{ м/с}\] Ответ: Скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное, составляет примерно \(2.21\) м/с. Задача 6. Каков уровень интенсивности звука с частотой 100 Гц, который имеет ту же громкость, что и звук с частотой 3 кГц и интенсивностью 25 дБ? Решение: Эта задача требует использования кривых равной громкости (изофон). Кривые равной громкости показывают, что для разных частот одинаковая громкость достигается при разных уровнях интенсивности звука. Единица измерения громкости - фон. Уровень громкости в фонах численно равен уровню интенсивности в децибелах для звука частотой 1000 Гц. Дано: Звук 1: Частота \(f_1 = 3\) кГц \( = 3000\) Гц Уровень интенсивности \(L_1 = 25\) дБ Звук 2: Частота \(f_2 = 100\) Гц Уровень громкости \(L_{фон2}\) должен быть равен уровню громкости \(L_{фон1}\) Найти: Уровень интенсивности \(L_2\) для звука с частотой 100 Гц, имеющего ту же громкость. 1. Определим громкость первого звука. Для этого нам нужно обратиться к кривым равной громкости (изофонам). По этим кривым можно найти, какой уровень громкости в фонах соответствует звуку с частотой 3000 Гц и уровнем интенсивности 25 дБ. (Поскольку у меня нет возможности отобразить график изофон, я буду использовать типичные значения или предположения, которые обычно используются в таких задачах. В реальной ситуации школьник должен был бы использовать график изофон из учебника или справочника.) Согласно стандартным изофонам (например, кривым Флетчера-Мэнсона или ISO 226:2003), для частоты 3000 Гц и уровня интенсивности 25 дБ, уровень громкости будет примерно равен 25 фон. Это связано с тем, что человеческое ухо наиболее чувствительно в диапазоне 2-5 кГц, и в этом диапазоне кривые равной громкости близки к прямым линиям, параллельным оси частот, то есть уровень интенсивности в дБ примерно равен уровню громкости в фонах. Итак, громкость первого звука \(L_{фон1} \approx 25\) фон. 2. Определим уровень интенсивности второго звука. Теперь нам нужно найти, какой уровень интенсивности \(L_2\) в дБ соответствует громкости 25 фон для частоты 100 Гц. Снова обращаемся к кривым равной громкости. Находим на графике изофону, соответствующую 25 фон. Затем находим точку на этой изофоне, соответствующую частоте 100 Гц. Считываем значение уровня интенсивности по вертикальной оси. На частоте 100 Гц человеческое ухо менее чувствительно, чем на 3000 Гц. Поэтому для достижения той же громкости (25 фон) потребуется более высокий уровень интенсивности в дБ. По изофонам (например, ISO 226:2003), для 25 фон на частоте 100 Гц, уровень интенсивности составляет примерно 35-40 дБ. Точное значение может немного варьироваться в зависимости от используемого набора изофон. Давайте возьмем среднее значение, например, 38 дБ. (Если бы задача была на экзамене, то либо был бы предоставлен график изофон, либо ожидалось бы знание конкретных точек на них.) Ответ: Уровень интенсивности звука с частотой 100 Гц, который имеет ту же громкость, что и звук с частотой 3 кГц и интенсивностью 25 дБ, составляет примерно 38 дБ (точное значение зависит от используемых кривых равной громкости).