Тренажёр по теме «Подобие треугольников»

Хорошо, давайте решим задачи по теме "Подобие треугольников". Заголовок: Тренажёр по теме «Подобие треугольников» 1. На рисунке \(AB = 4\), \(BE = 8\), \(DE = 5\), прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(BD\), \(CD\) перпендикулярна \(BD\) и \(EA\) перпендикулярна \(EC\). Найдите \(CD\). Решение: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\). По условию, \(AB \perp BD\) и \(CD \perp BD\). Это означает, что \(\angle ABE = 90^\circ\) и \(\angle CDE = 90^\circ\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle CED\) являются вертикальными, поэтому они равны: \(\angle AEB = \angle CED\). Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\) подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} = \frac{AE}{CE} \] Нам известны \(AB = 4\), \(BE = 8\), \(DE = 5\). Нужно найти \(CD\). Используем отношение: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} \] Подставим известные значения: \[ \frac{4}{CD} = \frac{8}{5} \] Чтобы найти \(CD\), умножим обе части на \(5 \cdot CD\): \[ 4 \cdot 5 = 8 \cdot CD \] \[ 20 = 8 \cdot CD \] Разделим обе части на 8: \[ CD = \frac{20}{8} \] \[ CD = \frac{5}{2} \] \[ CD = 2.5 \] Ответ: \(CD = 2.5\). 2. На рисунке \(AB = 3\), \(BE = 6\), \(CD = 10\), прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(BD\), \(CD\) перпендикулярна \(BD\) и \(EA\) перпендикулярна \(EC\). Найдите \(DE\). Решение: Аналогично задаче 1, рассмотрим треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\). По условию, \(AB \perp BD\) и \(CD \perp BD\). Значит, \(\angle ABE = 90^\circ\) и \(\angle CDE = 90^\circ\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle CED\) являются вертикальными, поэтому они равны: \(\angle AEB = \angle CED\). Следовательно, треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\) подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} = \frac{AE}{CE} \] Нам известны \(AB = 3\), \(BE = 6\), \(CD = 10\). Нужно найти \(DE\). Используем отношение: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} \] Подставим известные значения: \[ \frac{3}{10} = \frac{6}{DE} \] Чтобы найти \(DE\), умножим обе части на \(10 \cdot DE\): \[ 3 \cdot DE = 6 \cdot 10 \] \[ 3 \cdot DE = 60 \] Разделим обе части на 3: \[ DE = \frac{60}{3} \] \[ DE = 20 \] Ответ: \(DE = 20\). 3. На рисунке \(AB = 4\), \(BE = 6\), \(DE = 5\), прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(BD\), \(CD\) перпендикулярна \(BD\) и \(EA\) перпендикулярна \(EC\). Найдите \(CD\). Решение: Снова рассматриваем треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\). По условию, \(AB \perp BD\) и \(CD \perp BD\). Значит, \(\angle ABE = 90^\circ\) и \(\angle CDE = 90^\circ\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle CED\) являются вертикальными, поэтому они равны: \(\angle AEB = \angle CED\). Следовательно, треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\) подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} = \frac{AE}{CE} \] Нам известны \(AB = 4\), \(BE = 6\), \(DE = 5\). Нужно найти \(CD\). Используем отношение: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} \] Подставим известные значения: \[ \frac{4}{CD} = \frac{6}{5} \] Чтобы найти \(CD\), умножим обе части на \(5 \cdot CD\): \[ 4 \cdot 5 = 6 \cdot CD \] \[ 20 = 6 \cdot CD \] Разделим обе части на 6: \[ CD = \frac{20}{6} \] \[ CD = \frac{10}{3} \] \[ CD \approx 3.33 \] Ответ: \(CD = \frac{10}{3}\) или \(CD \approx 3.33\). 4. На рисунке \(AB = 3\), \(DE = 5\), \(CD = 10\), прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(BD\), \(CD\) перпендикулярна \(BD\) и \(EA\) перпендикулярна \(EC\). Найдите \(BE\). Решение: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\). По условию, \(AB \perp BD\) и \(CD \perp BD\). Значит, \(\angle ABE = 90^\circ\) и \(\angle CDE = 90^\circ\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle CED\) являются вертикальными, поэтому они равны: \(\angle AEB = \angle CED\). Следовательно, треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\) подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} = \frac{AE}{CE} \] Нам известны \(AB = 3\), \(DE = 5\), \(CD = 10\). Нужно найти \(BE\). Используем отношение: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} \] Подставим известные значения: \[ \frac{3}{10} = \frac{BE}{5} \] Чтобы найти \(BE\), умножим обе части на 5: \[ BE = \frac{3}{10} \cdot 5 \] \[ BE = \frac{15}{10} \] \[ BE = 1.5 \] Ответ: \(BE = 1.5\). 5. На рисунке \(CE = 8\), \(CD = 6\), \(BC = 12\), угол \(BAC\) равен углу \(EDC\). Найдите \(AC\). Решение: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle EDC\). По условию, \(\angle BAC = \angle EDC\). Углы \(\angle BCA\) и \(\angle ECD\) являются вертикальными, поэтому они равны: \(\angle BCA = \angle ECD\). Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle EDC\) подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{EC} \] Нам известны \(CE = 8\), \(CD = 6\), \(BC = 12\). Нужно найти \(AC\). Используем отношение: \[ \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{EC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{12}{6} = \frac{AC}{8} \] \[ 2 = \frac{AC}{8} \] Чтобы найти \(AC\), умножим обе части на 8: \[ AC = 2 \cdot 8 \] \[ AC = 16 \] Ответ: \(AC = 16\). 6. На рисунке \(CE = 16\), \(CD = 12\), \(AC = 18\), угол \(BAC\) равен углу \(EDC\). Найдите \(BC\). Решение: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle EDC\). По условию, \(\angle BAC = \angle EDC\). Углы \(\angle BCA\) и \(\angle ECD\) являются вертикальными, поэтому они равны: \(\angle BCA = \angle ECD\). Следовательно, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle EDC\) подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{EC} \] Нам известны \(CE = 16\), \(CD = 12\), \(AC = 18\). Нужно найти \(BC\). Используем отношение: \[ \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{EC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{BC}{12} = \frac{18}{16} \] Упростим дробь \(\frac{18}{16}\): \[ \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{BC}{12} = \frac{9}{8} \] Чтобы найти \(BC\), умножим обе части на 12: \[ BC = \frac{9}{8} \cdot 12 \] \[ BC = \frac{9 \cdot 12}{8} \] \[ BC = \frac{108}{8} \] Разделим 108 на 8: \[ BC = \frac{27}{2} \] \[ BC = 13.5 \] Ответ: \(BC = 13.5\).