Решение показательных уравнений: Вариант 4

Решение Варианта 4. 1. \( 7^{-5+x} = 343 \) Представим 343 как степень семерки: \( 343 = 7^3 \). \( 7^{-5+x} = 7^3 \) \( -5 + x = 3 \) \( x = 3 + 5 \) \( x = 8 \) Ответ: 8. 2. \( \left(\frac{1}{8}\right)^{4x-6} = \frac{1}{64} \) Представим \( \frac{1}{64} \) как \( \left(\frac{1}{8}\right)^2 \). \( \left(\frac{1}{8}\right)^{4x-6} = \left(\frac{1}{8}\right)^2 \) \( 4x - 6 = 2 \) \( 4x = 8 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. 3. \( 2^{7+2x} = 8^{3x} \) Приведем к основанию 2: \( 8 = 2^3 \). \( 2^{7+2x} = (2^3)^{3x} \) \( 2^{7+2x} = 2^{9x} \) \( 7 + 2x = 9x \) \( 7x = 7 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. 4. \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8} \) Приведем к основанию 2: \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), \( \sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \). \( (2^{-1})^{\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}} \) \( 2^{-\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}} \) \( -\frac{1}{4}x = \frac{3}{4} \) \( x = -3 \) Ответ: -3. 5. \( 27^{2-\frac{2}{3}x} = \frac{1}{81} \) Приведем к основанию 3: \( 27 = 3^3 \), \( 81 = 3^4 \). \( (3^3)^{2-\frac{2}{3}x} = 3^{-4} \) \( 3^{6-2x} = 3^{-4} \) \( 6 - 2x = -4 \) \( -2x = -10 \) \( x = 5 \) Ответ: 5. 6. \( 16 \cdot 8^{2+3x} = 2 \) Приведем к основанию 2: \( 16 = 2^4 \), \( 8 = 2^3 \). \( 2^4 \cdot (2^3)^{2+3x} = 2^1 \) \( 2^4 \cdot 2^{6+9x} = 2^1 \) \( 2^{4+6+9x} = 2^1 \) \( 10 + 9x = 1 \) \( 9x = -9 \) \( x = -1 \) Ответ: -1. 7. \( (0,6)^{2x} = \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12} \) Заметим, что \( 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \), а \( \frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \). \( \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\right)^{x^2-12} \) \( 2x = -2(x^2 - 12) \) Разделим на 2: \( x = -x^2 + 12 \) \( x^2 + x - 12 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 3 \) Ответ: -4; 3. 8. \( 49^{x+1} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \) Приведем к основанию 7: \( 49 = 7^2 \), \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \). \( (7^2)^{x+1} = (7^{-1})^x \) \( 7^{2x+2} = 7^{-x} \) \( 2x + 2 = -x \) \( 3x = -2 \) \( x = -\frac{2}{3} \) Ответ: \( -\frac{2}{3} \). 9. \( 9 \cdot 81^{1-2x} = 27^{2-x} \) Приведем к основанию 3: \( 9 = 3^2 \), \( 81 = 3^4 \), \( 27 = 3^3 \). \( 3^2 \cdot (3^4)^{1-2x} = (3^3)^{2-x} \) \( 3^2 \cdot 3^{4-8x} = 3^{6-3x} \) \( 3^{6-8x} = 3^{6-3x} \) \( 6 - 8x = 6 - 3x \) \( 5x = 0 \) \( x = 0 \) Ответ: 0. 10. \( 9^{2x+1} - 9^{2x} = 72 \) Вынесем общий множитель \( 9^{2x} \) за скобки: \( 9^{2x} \cdot (9^1 - 1) = 72 \) \( 9^{2x} \cdot 8 = 72 \) \( 9^{2x} = 9 \) \( 2x = 1 \) \( x = 0,5 \) Ответ: 0,5. 11. \( 5^{x-2} = 4^{2x-4} \) Заметим, что \( 2x-4 = 2(x-2) \). \( 5^{x-2} = (4^2)^{x-2} \) \( 5^{x-2} = 16^{x-2} \) Разделим обе части на \( 16^{x-2} \): \( \left(\frac{5}{16}\right)^{x-2} = 1 \) Так как \( 1 = \left(\frac{5}{16}\right)^0 \): \( x - 2 = 0 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. 12. \( 3^{2x} + 5 \cdot 3^x - 24 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). \( t^2 + 5t - 24 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = -8 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)) \( t_2 = 3 \) Вернемся к замене: \( 3^x = 3 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. 13. \( 2 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). \( 2t^2 - 5t + 2 = 0 \) \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \) \( t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \) \( t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \) Вернемся к замене: 1) \( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \) 2) \( 2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1 \) Ответ: -1; 1.